Le 8 août 1900, lors du Congrès international des mathématiciens à Paris, David Hilbert prononce une conférence intitulée Mathematical Problems. Il y présente une sélection de problèmes ouverts qui deviendront l’un des grands programmes intellectuels des mathématiques du XXe siècle.
1. Paris 1900 : une liste pour guider un siècle
À la fin du XIXe siècle, les mathématiques se transforment profondément : l’analyse se formalise, la théorie des ensembles apparaît, la géométrie se diversifie et la logique prend une place croissante. Hilbert, alors professeur à Göttingen, propose une vision ambitieuse : identifier des questions capables de structurer la recherche future.
Les problèmes de Hilbert ne sont pas tous des questions fermées au sens moderne. Certains ont été résolus positivement, d’autres négativement ; certains sont indépendants des axiomes usuels ; plusieurs ont surtout ouvert des programmes de recherche. Leur importance vient autant des solutions que des théories inventées pour les attaquer.
Un siècle plus tard, le Clay Mathematics Institute reprendra explicitement cette idée avec les problèmes du millénaire.
2. Comment lire les statuts ?
Le mot “résolu” doit être utilisé avec prudence. Pour certains problèmes, on a une réponse nette. Pour d’autres, le statut dépend de la formulation retenue. Les étiquettes ci-dessous donnent donc une lecture pédagogique, sans masquer les nuances historiques.
| Statut | Sens | Exemples |
|---|---|---|
| Résolu | Une réponse positive ou une résolution largement admise existe. | 5, 7, 9, 17, 22 |
| Résolu négativement | On démontre que ce que Hilbert espérait est impossible ou faux. | 3, 10, 14 |
| Indépendant | La question ne peut pas être tranchée dans les axiomes usuels. | 1 |
| Partiel / nuancé | La réponse dépend de la formulation ou de sous-problèmes. | 2, 4, 11, 13, 15, 18, 19, 20, 21 |
| Ouvert | Le problème reste largement ouvert. | 8, 12, 16 |
| Programme | Il s’agit moins d’une question unique que d’un domaine à développer. | 6, 23 |
3. Les 23 problèmes de Hilbert
Chaque problème est présenté avec son intitulé anglais classique, sa traduction française, son statut, une explication simple, puis un complément mathématique en volet dépliable.
1. Cantor’s problem of the cardinal number of the continuum
Indépendant Gödel 1940 Cohen 1963
Intitulé français. Le problème de Cantor sur le cardinal du continu, ou hypothèse du continu.
Explication simple. Hilbert demande s’il existe une taille d’infini strictement comprise entre l’infini des entiers naturels et l’infini des nombres réels.
Niveau 2 — Ensembles, cardinaux et indépendance logique
L’hypothèse du continu affirme qu’il n’existe aucun cardinal strictement compris entre \(\aleph_0\), le cardinal de \(\mathbb{N}\), et le cardinal du continu, celui de \(\mathbb{R}\).
Gödel montre en 1940 que l’hypothèse du continu est compatible avec ZFC, si ZFC est cohérent. Cohen montre en 1963 que sa négation est également compatible avec ZFC. Le problème est donc indépendant des axiomes usuels de la théorie des ensembles.
Résolution. Résolu comme résultat d’indépendance par Kurt Gödel en 1940 et Paul Cohen en 1963.
2. The compatibility of the arithmetical axioms
Réponse nuancée Gödel 1931 Gentzen 1936
Intitulé français. La cohérence des axiomes de l’arithmétique.
Explication simple. Hilbert voulait prouver que l’arithmétique ne mène jamais à une contradiction.
Niveau 2 — Programme de Hilbert, Gödel et Gentzen
Hilbert cherchait une preuve finitaire de la cohérence de l’arithmétique. Les théorèmes d’incomplétude de Gödel montrent qu’un système suffisamment puissant pour formaliser l’arithmétique ne peut pas démontrer sa propre cohérence par ses seules ressources internes, s’il est cohérent.
Gentzen donne en 1936 une preuve de cohérence de l’arithmétique de Peano, mais en utilisant une induction transfinie jusqu’à \(\varepsilon_0\), ce qui dépasse le cadre strictement finitaire voulu par Hilbert.
Résolution. Limitation fondamentale par Kurt Gödel en 1931 ; preuve relative par Gerhard Gentzen en 1936.
3. The equality of the volumes of two tetrahedra of equal bases and equal altitudes
Résolu négativement Max Dehn 1900
Intitulé français. L’égalité des volumes de deux tétraèdres de bases égales et de hauteurs égales.
Explication simple. Hilbert demande si deux solides de même volume peuvent toujours être découpés en morceaux finis et réassemblés l’un en l’autre.
Niveau 2 — Équidissection et invariant de Dehn
En dimension 2, deux polygones de même aire sont équidécomposables. Hilbert demande si un résultat analogue vaut en dimension 3 pour les polyèdres.
Max Dehn introduit l’invariant de Dehn et montre qu’un cube et un tétraèdre régulier de même volume ne sont pas nécessairement équidécomposables.
Résolution. Résolu négativement par Max Dehn en 1900.
4. Problem of the straight line as the shortest distance between two points
Partiel / nuancé Hamel, Busemann, Pogorelov
Intitulé français. La droite comme plus court chemin entre deux points.
Explication simple. Dans la géométrie euclidienne, le plus court chemin entre deux points est une droite. Hilbert demande quelles géométries conservent cette propriété.
Niveau 2 — Géométries métriques et géométrie de Finsler
Le problème consiste à caractériser des métriques dans lesquelles les droites projectives jouent le rôle de géodésiques. Il touche à la géométrie métrique, à la géométrie convexe et à la géométrie de Finsler.
Plusieurs formulations précises ont été étudiées. La question historique de Hilbert est assez large, ce qui explique un statut plus nuancé que simplement “résolu”.
Résolution. Contributions majeures de Georg Hamel, Herbert Busemann et Aleksei Pogorelov.
5. Lie’s concept of a continuous group of transformations without the assumption of the differentiability of the functions defining the group
Résolu Gleason, Montgomery, Zippin 1952
Intitulé français. Le concept de groupe continu de Lie sans hypothèse de différentiabilité.
Explication simple. Hilbert demande si un groupe continu de transformations possède forcément une structure régulière, comme les groupes de Lie.
Niveau 2 — Groupes topologiques et groupes de Lie
Le problème cherche à savoir si une structure topologique de groupe, sous des hypothèses naturelles de dimension finie, impose automatiquement une structure analytique de groupe de Lie.
Les travaux de Gleason, Montgomery et Zippin montrent qu’un groupe topologique localement euclidien est un groupe de Lie.
Résolution. Résolu par Andrew Gleason, Deane Montgomery et Leo Zippin en 1952, avec des compléments de Yamabe.
6. Mathematical treatment of the axioms of physics
Programme Réponses partielles Kolmogorov 1933
Intitulé français. Le traitement mathématique des axiomes de la physique.
Explication simple. Hilbert souhaite donner à la physique des bases mathématiques rigoureuses.
Niveau 2 — Probabilités, mécanique et physique mathématique
Hilbert vise notamment la mécanique, la théorie cinétique des gaz et les probabilités. Depuis 1900, plusieurs domaines de la physique ont reçu des axiomatisations partielles.
L’axiomatisation des probabilités par Kolmogorov en 1933 constitue une réponse majeure à une partie de l’esprit du problème. En revanche, une axiomatisation complète de toute la physique reste hors de portée.
Résolution. Pas de résolution unique ; réponse partielle importante par Andreï Kolmogorov en 1933.
7. Irrationality and transcendence of certain numbers
Résolu Gelfond-Schneider 1934
Intitulé français. Irrationalité et transcendance de certains nombres.
Explication simple. Hilbert demande si certains nombres construits avec des puissances, comme \(2^{\sqrt 2}\), sont transcendants.
Niveau 2 — Théorème de Gelfond-Schneider
Le problème porte sur les nombres de la forme \(a^b\), où \(a\) est algébrique différent de \(0\) et \(1\), et où \(b\) est algébrique irrationnel.
Le théorème de Gelfond-Schneider affirme que toute valeur de \(a^b\) est transcendante.
Résolution. Résolu indépendamment par Alexandre Gelfond et Theodor Schneider en 1934.
8. Problems of prime numbers
Ouvert Hypothèse de Riemann
Intitulé français. Les problèmes sur les nombres premiers, notamment l’hypothèse de Riemann.
Explication simple. Hilbert regroupe ici plusieurs grandes questions sur la répartition des nombres premiers. La plus célèbre est l’hypothèse de Riemann.
Niveau 2 — Fonction zêta et droite critique
L’hypothèse de Riemann affirme que tous les zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann ont une partie réelle égale à :
\[ \frac12. \]Il s’agit bien de la partie réelle, et non de la partie imaginaire. Cette hypothèse contrôle très finement la répartition des nombres premiers.
Résolution. Non résolu. Des analogues importants ont été démontrés, notamment les conjectures de Weil par Pierre Deligne en 1973, mais l’hypothèse de Riemann classique reste ouverte.
9. Proof of the most general law of reciprocity in any number field
Résolu Artin 1927
Intitulé français. La loi de réciprocité la plus générale dans les corps de nombres.
Explication simple. Hilbert demande de généraliser les lois de réciprocité, qui relient des propriétés arithmétiques dans différents corps de nombres.
Niveau 2 — Corps de classes et réciprocité d’Artin
Le problème s’inscrit dans la théorie algébrique des nombres. La loi de réciprocité d’Artin fournit une réponse centrale pour les extensions abéliennes dans le cadre de la théorie du corps de classes.
Résolution. Résolu par Emil Artin en 1927, dans le cadre de la théorie du corps de classes.
10. Determination of the solvability of a diophantine equation
Résolu négativement Matiyasevich 1970
Intitulé français. Décider la résolubilité d’une équation diophantienne.
Explication simple. Hilbert demande s’il existe un algorithme général permettant de décider si une équation polynomiale à coefficients entiers possède des solutions entières.
Niveau 2 — Calculabilité et indécidabilité
Une équation diophantienne est une équation polynomiale dont on cherche les solutions entières. Hilbert demande un algorithme général de décision.
La réponse est négative : il n’existe pas un tel algorithme. Matiyasevich complète en 1970 les travaux de Davis, Putnam et Robinson.
Résolution. Résolu négativement par Yuri Matiyasevich en 1970, à partir des travaux de Martin Davis, Hilary Putnam et Julia Robinson.
11. Quadratic forms with any algebraic numerical coefficients
Largement résolu Hasse-Minkowski
Intitulé français. Les formes quadratiques à coefficients algébriques quelconques.
Explication simple. Hilbert demande de comprendre et classifier les expressions quadratiques dans des cadres arithmétiques plus généraux.
Niveau 2 — Formes quadratiques et principe local-global
Une forme quadratique est une expression homogène de degré 2. Le problème consiste à classifier ces formes sur des corps de nombres et leurs anneaux d’entiers.
Le théorème de Hasse-Minkowski donne un résultat fondamental : certaines questions globales peuvent être résolues en étudiant tous les cas locaux.
Résolution. Largement développé par Hermann Minkowski, Helmut Hasse, Carl Ludwig Siegel et d’autres.
12. Extension of Kronecker’s theorem on Abelian fields to any algebraic realm of rationality
Ouvert en général Réponses partielles
Intitulé français. L’extension du théorème de Kronecker sur les corps abéliens à tout domaine algébrique de rationalité.
Explication simple. Hilbert demande de décrire explicitement certaines extensions de corps de nombres, comme on sait le faire pour \(\mathbb{Q}\).
Niveau 2 — Kronecker-Weber et multiplication complexe
Le théorème de Kronecker-Weber affirme que toute extension abélienne finie de \(\mathbb{Q}\) est contenue dans une extension cyclotomique.
Hilbert demande une généralisation explicite à d’autres corps de nombres. Des cas importants sont connus, notamment pour les corps quadratiques imaginaires via la multiplication complexe, mais le problème reste ouvert en pleine généralité.
Résolution. Non résolu en général ; réponses partielles importantes au XXe siècle.
13. Impossibility of the solution of the general equation of the 7th degree by means of functions of only two arguments
Partiel Kolmogorov-Arnold 1956-1957
Intitulé français. L’impossibilité de résoudre l’équation générale du septième degré au moyen de fonctions de seulement deux variables.
Explication simple. Hilbert s’interroge sur la complexité réelle des équations : certaines nécessitent-elles des fonctions de plusieurs variables ?
Niveau 2 — Superposition de fonctions
Le problème possède une lecture algébrique liée aux équations de degré 7, et une lecture analytique liée à la représentation de fonctions de plusieurs variables.
Kolmogorov et Arnold montrent que toute fonction continue de plusieurs variables peut être représentée par superposition de fonctions plus simples. Les versions analytiques restent plus délicates.
Résolution. Résolu pour les fonctions continues par Andreï Kolmogorov et Vladimir Arnold en 1956-1957.
14. Proof of the finiteness of certain complete systems of functions
Résolu négativement Nagata 1959
Intitulé français. La finitude de certains systèmes complets de fonctions.
Explication simple. Hilbert demande si certains anneaux d’invariants sont toujours engendrés par un nombre fini d’éléments.
Niveau 2 — Anneaux d’invariants et contre-exemple
Dans une formulation moderne, le problème demande si certains anneaux construits naturellement en géométrie algébrique sont toujours de type fini.
Nagata donne en 1959 un contre-exemple montrant que la réponse générale est négative.
Résolution. Résolu négativement par Masayoshi Nagata en 1959.
15. Rigorous foundation of Schubert’s enumerative calculus
Largement résolu Géométrie algébrique moderne
Intitulé français. Donner des fondements rigoureux au calcul énumératif de Schubert.
Explication simple. Hilbert demande de justifier rigoureusement les méthodes qui permettent de compter des objets géométriques.
Niveau 2 — Théorie de l’intersection
Le calcul énumératif cherche à compter des objets géométriques satisfaisant certaines conditions : droites, courbes, surfaces, intersections, tangences.
La théorie moderne de l’intersection, les classes de Chern, la cohomologie et la géométrie algébrique ont fourni les fondements attendus.
Résolution. Pas de résolution par une seule personne ; contributions majeures de van der Waerden, Chow, Grothendieck, Fulton et d’autres.
16. Problem of the topology of algebraic curves and surfaces
Ouvert en grande partie Résultats partiels
Intitulé français. Le problème de la topologie des courbes et surfaces algébriques.
Explication simple. Hilbert veut comprendre quelles formes peuvent prendre les courbes et surfaces définies par des équations polynomiales.
Niveau 2 — Courbes réelles et cycles limites
Le problème a deux volets : la topologie des courbes algébriques réelles, notamment la disposition de leurs ovales, et les cycles limites des systèmes différentiels polynomiaux.
De nombreux résultats partiels existent, mais la classification générale reste ouverte, surtout pour la partie liée aux cycles limites.
Résolution. Non résolu en général ; contributions partielles de Petrovskii, Thom, Arnold, Gudkov et Ilyashenko.
17. Expression of definite forms by squares
Résolu Artin 1927
Intitulé français. L’expression des formes définies comme sommes de carrés.
Explication simple. Hilbert demande si une fonction rationnelle toujours positive peut s’écrire comme une somme de carrés de fonctions rationnelles.
Niveau 2 — Corps réels et sommes de carrés
Le problème généralise une question ancienne : quand une expression positive peut-elle être représentée comme somme de carrés ?
Artin montre qu’une fonction rationnelle positive est somme de carrés de fonctions rationnelles.
Résolution. Résolu par Emil Artin en 1927.
18. Building up of space from congruent polyhedra
Plusieurs volets résolus Bieberbach 1910 Hales 1998
Intitulé français. La construction de l’espace à partir de polyèdres congruents.
Explication simple. Hilbert s’intéresse aux façons de remplir l’espace avec des formes identiques, aux symétries de ces pavages et à l’empilement optimal des sphères.
Niveau 2 — Pavages, cristaux et empilement des sphères
Le problème comprend plusieurs parties : les groupes cristallographiques, les pavages de l’espace et l’empilement le plus dense de sphères.
Bieberbach résout une partie sur les groupes cristallographiques. La partie liée à l’empilement des sphères correspond à la conjecture de Kepler, démontrée par Hales puis formalisée dans le projet Flyspeck.
Résolution. Contributions de Ludwig Bieberbach en 1910, Karl Reinhardt, Heinrich Heesch, et Thomas Hales en 1998 pour la conjecture de Kepler.
19. Are the solutions of regular problems in the calculus of variations always necessarily analytic?
Largement résolu Bernstein, De Giorgi, Nash, Moser
Intitulé français. Les solutions régulières des problèmes du calcul des variations sont-elles toujours analytiques ?
Explication simple. Hilbert demande si des problèmes très réguliers produisent forcément des solutions elles-mêmes très régulières.
Niveau 2 — Régularité elliptique
Les problèmes variationnels conduisent souvent à des équations d’Euler-Lagrange, donc à des équations aux dérivées partielles. Le problème porte sur la régularité des solutions.
Les travaux de Bernstein, De Giorgi, Nash et Moser apportent les résultats fondamentaux de régularité attendus dans les principaux cadres.
Résolution. Résultats de Sergei Bernstein, puis théorie moderne avec Ennio De Giorgi, John Nash et Jürgen Moser dans les années 1950.
20. The general problem of boundary values
Largement développé Pas de résolution unique
Intitulé français. Le problème général des valeurs au bord.
Explication simple. Hilbert demande de comprendre quand une équation différentielle possède une solution satisfaisant des conditions imposées au bord d’un domaine.
Niveau 2 — Espaces de Sobolev et EDP
Les problèmes aux limites sont au cœur des équations différentielles et des équations aux dérivées partielles : une équation est imposée dans un domaine, avec des conditions sur son bord.
Le XXe siècle a vu le développement des espaces de Sobolev, des solutions faibles, des distributions et de l’analyse fonctionnelle.
Résolution. Pas de résolution unique ; vaste programme développé par l’analyse moderne des EDP.
21. Proof of the existence of linear differential equations having a prescribed monodromic group
Réponse nuancée Plemelj, Deligne, Bolibrukh
Intitulé français. L’existence d’équations différentielles linéaires ayant un groupe de monodromie prescrit.
Explication simple. Hilbert demande si l’on peut construire une équation différentielle dont les solutions se transforment d’une manière imposée autour de singularités.
Niveau 2 — Problème de Riemann-Hilbert
Le groupe de monodromie décrit comment les solutions d’une équation différentielle complexe changent lorsqu’on les prolonge autour de points singuliers.
Le problème admet des réponses différentes selon la formulation précise. Des formulations modifiées ont des réponses positives, tandis que Bolibrukh a construit des contre-exemples dans certains cadres restrictifs.
Résolution. Contributions de Josip Plemelj, George Birkhoff, Pierre Deligne et Andrei Bolibrukh. Statut nuancé.
22. Uniformization of analytic relations by means of automorphic functions
Résolu en dimension 1 Poincaré-Koebe 1907
Intitulé français. L’uniformisation des relations analytiques au moyen de fonctions automorphes.
Explication simple. Hilbert demande de représenter certains objets analytiques compliqués par des fonctions plus simples et mieux contrôlées.
Niveau 2 — Surfaces de Riemann et uniformisation
Le problème concerne l’uniformisation : représenter une courbe ou une surface analytique par un paramétrage adapté, souvent à l’aide de fonctions automorphes.
En dimension complexe 1, le théorème d’uniformisation de Poincaré-Koebe fournit une réponse fondamentale.
Résolution. Résolu en dimension 1 par Henri Poincaré et Paul Koebe en 1907.
23. Further development of the methods of the calculus of variations
Programme Toujours actif
Intitulé français. Le développement ultérieur des méthodes du calcul des variations.
Explication simple. Hilbert ne pose pas ici une question unique : il appelle à développer les méthodes permettant d’étudier les objets qui minimisent ou maximisent une quantité.
Niveau 2 — Optimisation, EDP et géométrie
Le calcul des variations étudie les problèmes où l’on cherche à optimiser une grandeur : longueur minimale, aire minimale, énergie minimale, action en physique, etc.
Au XXe siècle, ce domaine s’est développé avec les méthodes directes, les espaces fonctionnels, les EDP, la géométrie différentielle et le contrôle optimal.
Résolution. Pas de résolution unique : c’est un programme de recherche encore actif.
4. Héritage : pourquoi cette liste reste célèbre
La liste de Hilbert est restée célèbre parce qu’elle a montré qu’une bonne question peut structurer un domaine entier. Certains problèmes ont été résolus rapidement, comme le troisième problème par Dehn. D’autres ont attendu plusieurs décennies, comme le dixième problème. D’autres encore, comme l’hypothèse de Riemann, restent ouverts plus d’un siècle après leur formulation.
L’histoire des problèmes de Hilbert rappelle aussi qu’une solution peut être positive, négative, partielle ou même montrer qu’une question est indépendante des axiomes usuels. C’est l’une des grandes leçons du XXe siècle : en mathématiques, comprendre les limites d’un problème peut être aussi important que trouver une solution attendue.
En 2000, le Clay Mathematics Institute reprend explicitement cette tradition avec les problèmes du millénaire : sept grands problèmes pour signaler les frontières encore ouvertes des mathématiques contemporaines.
5. Sources et références
Les intitulés anglais courts reprennent les titres de la traduction publiée de la conférence de Hilbert. Les statuts sont donnés de manière pédagogique, à partir de références historiques et encyclopédiques.
- David Hilbert, Mathematical Problems. Traduction anglaise de la conférence de 1900, avec la liste des 23 problèmes.
https://www.gutenberg.org/files/71655/71655-h/71655-h.htm - MacTutor History of Mathematics — Hilbert’s Problems. Présentation historique de la conférence, de la liste et de son influence.
https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Extras/Hilbert_Problems/ - Encyclopedia of Mathematics — Hilbert problems. Source utile pour les statuts modernes et les nuances entre problèmes résolus, ouverts, partiels ou reformulés.
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Hilbert_problems - David Hilbert, Mathematical Problems, Wikisource. Autre accès au texte de référence.
https://en.wikisource.org/wiki/Mathematical_Problems - Clay Mathematics Institute — Millennium Prize Problems. Pour le lien historique entre les problèmes de Hilbert et les problèmes du millénaire.
https://www.claymath.org/millennium-problems/