Une histoire des équations polynomiales
L'histoire des équations ne se réduit pas à une suite de formules. Elle raconte aussi l'évolution des mots, des notations, des méthodes de calcul et des objets acceptés comme solutions : nombres positifs, zéro, nombres négatifs, racines complexes, puis groupes de permutations.
Une équation polynomiale est une équation qui peut s'écrire sous la forme
$$ P(x)=0, $$
où \(P\) est un polynôme. Cette page suit principalement l'histoire des équations de degré 2, 3, 4, puis le tournant du degré 5 avec Abel, Ruffini et Galois.
Point de méthode historique. Dire que les Babyloniens, Euclide ou al-Khwarizmi « résolvent des équations » est une traduction moderne. Les textes anciens raisonnent souvent en termes de longueurs, d'aires, de recettes de calcul ou de problèmes concrets. Il faut donc distinguer la méthode mathématique réelle de la notation moderne que nous utilisons pour l'expliquer [Høyrup] [MacTutor].
Quelques définitions
- Une équation est une égalité contenant une ou plusieurs variables, souvent notées par des lettres.
- Résoudre une équation, c'est déterminer les valeurs de la variable qui rendent l'égalité vraie.
- La variable est aussi appelée inconnue. Les valeurs qui vérifient l'équation sont appelées solutions.
- Une identité est vraie pour toutes les valeurs admissibles de la variable ; une équation ne l'est pas nécessairement.
Une équation polynomiale de degré \(n\) est une équation que l'on peut ramener à la forme :
$$ a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=0, \qquad a_n\neq 0. $$| Degré | Exemple | Remarque |
|---|---|---|
| 1 | \(2x+3=0\) | Équation linéaire. |
| 2 | \(2x^2+3x-5=0\) | Équation du second degré. |
| 3 | \(2x^3+x^2+4x+3=0\) | Équation cubique. |
| 4 | \(x^4+px^2+qx+r=0\) | Équation quartique, après une réduction possible. |
Les équations anciennes ne sont pas encore nos équations modernes
Dans cette page, on traduit souvent les problèmes anciens avec nos notations actuelles, par exemple \(ax^2+bx+c=0\). Cette traduction est très pratique pour comprendre, mais elle peut être trompeuse : les scribes babyloniens, Euclide ou al-Khwarizmi ne manipulent pas encore des équations symboliques écrites avec des lettres comme nous le faisons aujourd'hui.
Selon les époques, on rencontre plutôt des recettes de calcul, des problèmes de longueurs et d'aires, des raisonnements géométriques, ou des phrases entièrement rédigées. L'histoire des équations est donc à la fois l'histoire des méthodes de résolution et celle des notations qui permettent de les écrire simplement.
Frise chronologique des équations polynomiales
Les scribes paléo-babyloniens résolvent des problèmes qui, en notation moderne, conduisent à des équations du second degré. La tablette BM 13901 est l'un des documents les plus célèbres pour ces techniques de « complétion du carré » [BM13901] [Høyrup].
Dans la tradition grecque, de nombreux problèmes que nous écririons sous forme d'équations sont traités géométriquement, avec des longueurs, des aires et des constructions.
Diophante utilise des abréviations et traite des problèmes numériques avec une inconnue. Son écriture n'est pas encore l'algèbre symbolique moderne, mais elle marque une étape importante entre rhétorique et symbolisme.
Al-Khwarizmi classe les équations de degré au plus 2 en plusieurs types, car les coefficients négatifs et le zéro n'ont pas encore le statut opératoire moderne. Son traité donne son nom à l'algèbre [LoC] [MacTutor].
Omar Khayyâm étudie géométriquement les équations cubiques, par intersections de coniques. Sharaf al-Din al-Tusi s'intéresse ensuite au nombre de racines positives et aux conditions d'existence de ces racines.
Scipione del Ferro, Niccolò Tartaglia, Girolamo Cardano et Lodovico Ferrari ouvrent la voie à la résolution algébrique des équations de degré 3 et 4 [MacTutor].
François Viète puis René Descartes contribuent à stabiliser l'usage des lettres et des puissances. Cajori reste une référence majeure pour suivre cette histoire des notations [CajoV1].
Paolo Ruffini et Niels Henrik Abel montrent qu'il n'existe pas de formule générale par radicaux pour le degré 5. Évariste Galois donne ensuite le critère profond de résolubilité par radicaux.
Équations du second degré
Babylone : des procédures plutôt que des formules
Les textes paléo-babyloniens ne parlent pas d'« équation » au sens moderne. Ils donnent des problèmes de longueurs, d'aires, de côtés de carrés ou de rectangles. Pourtant, leur méthode revient souvent à ce que nous appelons aujourd'hui la complétion du carré [Høyrup].
La tablette BM 13901 du British Museum est fréquemment citée pour illustrer les techniques babyloniennes du second degré [BM13901]. Elle contient des problèmes que nous traduisons aujourd'hui par des équations quadratiques, mais le texte ancien raisonne par opérations sur des grandeurs et par découpages géométriques.
Un exemple moderne de complétion du carré est :
$$ x^2+10x=39. $$On ajoute \(25\) des deux côtés :
$$ x^2+10x+25=64 \qquad\Longleftrightarrow\qquad (x+5)^2=64. $$Donc :
$$ x+5=8 \qquad\text{ou}\qquad x+5=-8, $$et les solutions modernes sont \(x=3\) et \(x=-13\). Dans les contextes anciens, la solution négative n'est généralement pas retenue comme longueur.
Al-Khwarizmi : six types d'équations
Vers 820-830, al-Khwarizmi écrit un traité dont le titre contient al-jabr et al-muqabala. La Library of Congress rappelle que le mot « algèbre » dérive de al-jabr, l'une des opérations utilisées pour résoudre les équations du second degré [LoC].
Comme les coefficients négatifs ne sont pas encore employés comme aujourd'hui, al-Khwarizmi distingue six formes :
$$ \begin{aligned} ax^2&=bx, & ax^2&=c, & bx&=c,\\ ax^2+bx&=c, & ax^2+c&=bx, & ax^2&=bx+c. \end{aligned} $$À ne pas oublier. La formule moderne
$$ ax^2+bx+c=0 \qquad\Longrightarrow\qquad x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$suppose une notation symbolique, le zéro, les nombres négatifs et une écriture uniforme des coefficients. Ce n'est pas le cadre d'al-Khwarizmi.
Équations du troisième degré
Les Grecs : solutions géométriques
Les Grecs abordent certains problèmes de degré 3 par la géométrie. Ménechme est traditionnellement associé à la duplication du cube et aux intersections de coniques. Archimède rencontre aussi des équations cubiques dans des problèmes de découpage de volumes.
Par exemple, un problème de section d'une sphère peut conduire à une relation du type :
$$ h^3+\dfrac{4kR^3}{k+1}=3Rh^2. $$Omar Khayyâm et Sharaf al-Din al-Tusi
Omar Khayyâm étudie les équations cubiques dans un cadre géométrique : les solutions positives sont obtenues par intersections de coniques. Ses classifications ne sont pas encore des classifications par coefficients algébriques signés comme dans l'algèbre moderne.
Sharaf al-Din al-Tusi franchit une étape importante : il ne cherche pas seulement à construire une solution, il étudie aussi le nombre de solutions positives selon les paramètres. Cela annonce, sans être encore le calcul différentiel moderne, une réflexion sur les maxima de certaines expressions polynomiales.
Del Ferro, Tartaglia et Cardan
Au début du XVIe siècle, Scipione del Ferro trouve une méthode pour des équations cubiques réduites du type :
$$ x^3+px=q. $$La méthode reste secrète. En 1535, Antonio Maria Fior défie Niccolò Tartaglia, qui résout les problèmes proposés. Girolamo Cardano obtient ensuite de Tartaglia sa méthode, puis publie en 1545 l'Ars Magna, où figurent les méthodes de résolution des équations cubiques et quartiques [ArsMagna] [MacTutor].
La querelle Tartaglia-Cardan est devenue l'un des épisodes les plus célèbres de l'histoire de l'algèbre. Elle mêle concours publics, secrets de méthode, promesse de confidentialité, publication de l'Ars Magna et reconnaissance partagée des découvertes.
La méthode de Cardan, en notation moderne
Avec les notations actuelles, on ramène d'abord une équation cubique générale à une équation dite réduite :
$$ x^3+px+q=0. $$On cherche alors une solution sous la forme :
$$ x=u+v. $$Dérivation moderne de la formule de Cardan
On remplace \(x\) par \(u+v\) :
$$ \begin{aligned} 0&=(u+v)^3+p(u+v)+q\\ &=u^3+v^3+3uv(u+v)+p(u+v)+q\\ &=u^3+v^3+(u+v)(3uv+p)+q. \end{aligned} $$On impose alors :
$$ 3uv+p=0, \qquad\text{c'est-à-dire}\qquad uv=-\dfrac{p}{3}. $$Il reste donc :
$$ u^3+v^3=-q. $$En posant \(U=u^3\) et \(V=v^3\), on obtient :
$$ U+V=-q \qquad\text{et}\qquad UV=(uv)^3=-\dfrac{p^3}{27}. $$Les nombres \(U\) et \(V\) sont donc les deux solutions de :
$$ T^2+qT-\dfrac{p^3}{27}=0. $$On obtient :
$$ U=-\dfrac{q}{2}+\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}, \qquad V=-\dfrac{q}{2}-\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}. $$Une solution de l'équation cubique réduite est donc :
$$ \boxed{ x=\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}+\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}} +\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}-\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}} }. $$Cas irréductible. Certaines équations cubiques ont trois racines réelles, mais la formule de Cardan fait apparaître des racines carrées de nombres négatifs. C'est l'un des chemins historiques qui conduit à prendre au sérieux les nombres complexes, notamment avec Bombelli.
Plus tard, Euler et d'autres mathématiciens clarifient la manière d'obtenir les trois racines, en utilisant les racines cubiques complexes de l'unité. Si \(j\) est une racine cubique primitive de l'unité, les trois racines s'écrivent sous la forme :
$$ \begin{cases} u+v,\\ ju+j^2v,\\ j^2u+jv. \end{cases} $$Équations du quatrième degré
L'équation du quatrième degré est résolue au XVIe siècle par Lodovico Ferrari, élève de Cardan. Cardan publie cette méthode dans l'Ars Magna. Après réduction, on peut se ramener à une équation de la forme :
$$ x^4+px^2+qx+r=0. $$Idée de Ferrari. On cherche à transformer l'équation en différence de deux carrés. Pour cela, on introduit un paramètre auxiliaire, choisi de sorte qu'un certain trinôme du second degré devienne un carré parfait. Cette condition fait apparaître une équation cubique appelée résolvante.
Principe de la résolvante de Ferrari
On part de :
$$ x^4+px^2+qx+r=0. $$On écrit :
$$ x^4=-px^2-qx-r. $$On introduit un paramètre \(y\) et on considère :
$$ (x^2+y)^2=x^4+2yx^2+y^2. $$En utilisant l'équation initiale, on obtient :
$$ (x^2+y)^2=(2y-p)x^2-qx+y^2-r. $$On choisit alors \(y\) pour que le membre de droite soit un carré parfait en \(x\). On impose donc que le discriminant du trinôme soit nul :
$$ q^2-4(2y-p)(y^2-r)=0. $$Cette équation est de degré 3 en \(y\). Une fois une valeur convenable de \(y\) trouvée, on obtient deux équations du second degré, puis les quatre solutions de l'équation initiale.
François Viète reprend et expose clairement la méthode de Ferrari. Descartes propose aussi une méthode par coefficients indéterminés, en cherchant une factorisation :
$$ x^4+px^2+qx+r=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d). $$Degré 5 et supérieur : Abel, Ruffini, Galois
Après les succès des degrés 2, 3 et 4, les mathématiciens cherchent naturellement une formule générale pour le degré 5. Le résultat est négatif : il n'existe pas de formule générale par radicaux pour résoudre toutes les équations polynomiales de degré 5.
Théorème d'Abel-Ruffini. Il n'existe pas de formule générale, utilisant seulement les coefficients, les quatre opérations et les extractions de racines, qui donne les solutions de toute équation polynomiale de degré 5 ou plus.
Pourquoi le degré 5 change tout ?
- Pour les degrés 1 et 2, il existe des méthodes générales élémentaires.
- Pour les degrés 3 et 4, les algébristes de la Renaissance obtiennent aussi des formules générales par radicaux, même si elles sont plus délicates à manier.
- À partir du degré 5, la situation change : certaines équations particulières se résolvent encore par radicaux, mais il n'existe plus de formule générale valable pour toutes les équations.
- Galois apporte l'explication profonde : la possibilité de résoudre par radicaux dépend de la structure du groupe des permutations des racines.
Paolo Ruffini donne une première preuve incomplète. Niels Henrik Abel fournit ensuite une preuve rigoureuse de l'impossibilité générale.
Évariste Galois va plus loin : il ne se contente pas de dire que la formule générale n'existe pas. Il donne un critère permettant de savoir quand une équation particulière est résoluble par radicaux. L'idée centrale est d'étudier les permutations des racines et la structure du groupe associé [InstGalois].
Avant Galois, la question était surtout : « Quelle formule donne les racines ? » Avec Galois, elle devient : « Quelle structure explique qu'une formule par radicaux existe ou n'existe pas ? » C'est l'un des grands tournants de l'algèbre moderne.
Notations, inconnues et signes
L'histoire des équations est aussi l'histoire de leur écriture. Les Babyloniens n'écrivent pas \(x^2+10x=39\), al-Khwarizmi raisonne encore largement en langage verbal, et les algébristes de la Renaissance utilisent des abréviations avant la stabilisation progressive des lettres et des exposants. Pour replacer cette évolution dans l'histoire plus générale des signes, voir aussi la page Math93 consacrée aux symboles mathématiques.
Repère utile. Florian Cajori est une référence majeure pour l'histoire des notations mathématiques. Ses deux volumes de A History of Mathematical Notations suivent notamment l'évolution des signes, des lettres, des puissances, des radicaux et de l'écriture symbolique [CajoV1] [CajoV2].
La forme moderne
$$ ax^2+bx+c=0 $$semble naturelle aujourd'hui, mais elle suppose une longue histoire : usage systématique des lettres, acceptation des coefficients négatifs, écriture de zéro, notation des puissances et notation de l'égalité.
Ne pas moderniser trop vite
Pour rendre les méthodes anciennes compréhensibles, on les traduit souvent dans notre notation. Mais cette traduction peut donner l'impression trompeuse que les auteurs anciens manipulaient déjà nos équations symboliques. C'est utile pédagogiquement, à condition de le signaler clairement.
À retenir
| Degré | Étapes historiques importantes | Idée principale |
|---|---|---|
| 1 | Présent dans de nombreuses traditions de calcul. | Isoler l'inconnue. |
| 2 | Babylone, géométrie grecque, al-Khwarizmi, mathématiques indiennes et arabes. | Compléter le carré. |
| 3 | Ménechme, Archimède, Khayyâm, al-Tusi, del Ferro, Tartaglia, Cardan. | Coniques, puis formule par radicaux. |
| 4 | Ferrari, Cardan, Viète, Descartes. | Réduire à une équation du troisième degré. |
| 5 et plus | Ruffini, Abel, Galois. | Pas de formule générale par radicaux ; apparition de la théorie de Galois. |
- L'algèbre n'est pas née d'un seul coup : elle passe par des recettes, de la géométrie, des problèmes numériques et des notations de plus en plus efficaces.
- Les équations du second degré sont très anciennes, mais pas dans notre langage symbolique moderne.
- Les équations cubiques et quartiques sont résolues algébriquement à la Renaissance italienne.
- La recherche d'une formule pour le degré 5 conduit à l'un des plus grands changements de perspective de l'algèbre : la théorie de Galois.
Questions fréquentes
Qui a résolu les équations du troisième degré ?
La résolution algébrique des équations du troisième degré est liée à plusieurs mathématiciens italiens de la Renaissance. Scipione del Ferro découvre une méthode pour certains cas, Tartaglia la retrouve et la garde secrète, puis Cardan la publie et l'étend dans l'Ars Magna. L'histoire est donc collective, avec un épisode célèbre de rivalité autour de la formule.
Pourquoi les équations du cinquième degré ne se résolvent-elles pas toujours par radicaux ?
Pour les degrés 1 à 4, il existe des formules générales par radicaux. Pour le degré 5, Abel et Ruffini montrent qu'une telle formule générale n'existe pas. Cela ne signifie pas qu'aucune équation de degré 5 ne se résout : certaines le peuvent, mais pas toutes. La théorie de Galois explique précisément ce qui rend une équation résoluble ou non par radicaux.
Quel est le rôle de Galois dans l'histoire des équations ?
Évariste Galois transforme le problème. Au lieu de chercher seulement une formule, il étudie les symétries des racines d'une équation. Cette idée conduit à la notion de groupe de Galois et donne un critère de résolubilité par radicaux. C'est une étape fondatrice de l'algèbre moderne.
Sources et bibliographie
Les références ci-dessous reprennent le format bibliographique utilisé dans la bibliographie générale Math93, avec quelques sources en ligne ajoutées pour faciliter la vérification.
- [BM13901] : British Museum, tablet, museum number 13901, enregistrement 1896,0402.1, département Middle East. Notice officielle : tablette d'argile, texte mathématique paléo-babylonien sur les équations du second degré, quatre colonnes. Objet non exposé actuellement. Disponible en ligne : British Museum Collection Online.
- [Bodleian-Khw] : Oxford, Bodleian Library, MS. Huntington 214, manuscrit arabe d'al-Khwarizmi, Algebra. La notice Biblissima / Digital Bodleian indique que le manuscrit montre des solutions géométriques de deux équations quadratiques : \(x^2+21=10x\) et \(x^2=3x+4\). Photo © Bodleian Libraries, University of Oxford, CC-BY-NC 4.0. Disponible en ligne : Biblissima / Digital Bodleian.
- [ArsMagna] : Girolamo CARDANO, Hieronymi Cardani ... Artis magnae, sive de regulis algebraicis, liber unus, [Nürnberg] : [Petreius], [1545]. Exemplaire conservé à l'ETH-Bibliothek Zürich, Rar 5506. Source numérique : e-rara, DOI 10.3931/e-rara-9159, Public Domain Mark. Disponible en ligne : e-rara / ETH-Bibliothek Zürich.
- [InstGalois] : Bibliothèque de l'Institut de France, Manuscrits d'Évariste Galois, Bibliothèque de l'Institut de France, Ms 2108 Réserve. Contenu numérisé intégral, 682 vues, mise en ligne en avril 2023, domaine public. Disponible en ligne : Bibliothèques numériques de l'Institut de France.
- [CajoV1] : Florian CAJORI, A History of Mathematical Notations, Volume I, Open Court Publishing Company, La Salle, Illinois, 1928 ; rééd. Cosimo, New York, 2007. Référence utile pour les notations d'arithmétique, d'algèbre élémentaire, d'inconnues, de puissances et de radicaux. Disponible en ligne : Wikisource — Volume I.
- [CajoV2] : Florian CAJORI, A History of Mathematical Notations, Volume II, Open Court Publishing Company, La Salle, Illinois, 1929 ; rééd. Cosimo, New York, 2007. Référence utile pour les notations plus avancées et l'évolution du symbolisme mathématique.
- [DaDaPe] : Amy DAHAN-DALMEDICO et Jeanne PEIFFER, Une histoire des mathématiques : routes et dédales, Seuil, Paris, 1986.
- [Katz-Parshall] : Victor J. KATZ et Karen Hunger PARSHALL, Taming the Unknown: A History of Algebra from Antiquity to the Early Twentieth Century, Princeton University Press, 2014.
- [Høyrup] : Jens HØYRUP, Algebra in Cuneiform: Introduction to an Old Babylonian Geometrical Technique, Max Planck Research Library for the History and Development of Knowledge, 2017. Disponible en ligne : Max Planck Research Library.
- [LoC-Khw] : Library of Congress, The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing, notice de l'ouvrage d'al-Khwarizmi. Disponible en ligne : Library of Congress.
- [MacTutor-Khw] : J. J. O'Connor et E. F. Robertson, Al-Khwarizmi and quadratic equations, MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews.
- [MacTutor-QCQ] : J. J. O'Connor et E. F. Robertson, Quadratic, cubic and quartic equations, MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews.
- [Esco] : Jean-Pierre ESCOFIER, Théorie de Galois, Masson, Paris, 1997.
- [Smith] : David Eugene SMITH, History of Mathematics, vol. I et II, Dover Publications / Ginn and Co., rééditions modernes.
- [Audi] : J. L. AUDIRAC, Vie et œuvre des grands mathématiciens, Magnard, Paris, 1990.