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ÉRATOSTHÈNE de Cyrène
Cyrène vers 276 - Alexandrie vers 194 av. J.-C.
1. Ératosthène de Cyrène.
Ératosthène est un astronome, philosophe, géographe et mathématicien, né à Cyrène, une ancienne ville grecque en actuelle Libye. Cette ville porte maintenant le nom de Shahhat.
Après avoir suivi des études dans sa ville natale, il aurait été l'élève du poète Callimaque de Cyrène (vers 305 - 240 av. J.-C.) à Alexandrie.
Vers l'âge de 20 ans, Ératosthène s'installe à Athènes et y fréquente Ariston et Arcésilas, des élèves de Platon, ainsi que des stoïciens.
Sa notoriété devient telle que le souverain Lagide Ptolémée III Évergète le fait venir à Alexandrie, pour être précepteur de son fils, le futur Ptolémée IV Philopatôr et diriger la grande bibliothèque..
La ville d'Alexandrie, fondée en -331 par Alexandre le Grand, est alors à son apogée. Dans le centre culturel et intellectuel du monde antique, Démétrios de Phalère (mort en 280 av. JC) , a fondé il y a quelques années, la plus grande bibliothèque de l'antiquité. Elle regroupe plus de 400 000 volumes (certains avancent le nombres fabuleux de 700 000) et attirent les plus grands esprits de l'époque.
2. Ératosthène bibliothécaire.
Autre nouveauté et non des moindres : le poste de bibliothécaire est créé.
A l'origine, cet homme ne devait pas être plus qu'un précepteur, mais la Bibliothèque grandit et il devient nécessaire de trouver une personne de référence, capable de s'approprier le lieu, de classifier, de guider les recherches.
Pour Ptolémée III, le nom de l'érudit Ératosthène s'impose alors à ce poste et, de 235 av. J.-C. à sa mort, il devient le troisième conservateur de la fameuse Bibliothèque d'Alexandrie.
Il y édite notamment un ouvrage resté célèbre, un traité d'Archimède intitulé les Éphodiques ou De la méthode.
3. Ératosthène historien et astronome.
En histoire, Ératosthène propose une méthode de classification des évènements historiques.
Il élaboration un système chronologique permettant de dater les événements importants survenus depuis la guerre de Troie, facilitant ainsi la distinction entre les légendes et les faits historiques.
Astronome aussi, certains historiens lui attribuent la création d'un catalogue classifiant 675 étoiles. Il aurait aussi démontré l'inclinaison de l'écliptique sur l'équateur et fixer cette inclinaison à 23° 51. Ératosthène participa en outre à la construction du premier observatoire astronomique.
4. Ératosthène, le premier géographe de l'histoire.
Son savoir pluridisciplinaire lui permet d'envisager une géographie empreinte de mathématique et d'astronomie.
Il rassemble toutes les mesures établies pour rénover la cartographie de l'époque et conçoit une véritable carte du monde connu, c'est à dire du bassin méditerranéen, que l'on nomme écoumène.
L'écoumène est une notion géographique pour désigner l'ensemble des terres habitées ou exploitées par l'Homme.
Il effectue cela avec une remarquable précision pour l'époque. Il est de ce fait considéré comme le premier géographe de l'histoire.
Il propose de diviser la Terre en zones différenciées par la longueur du plus long jour de l'année, les "climats".
Ératosthène décrivait le globe terrestre en cinq zones parallèles : la canicule, bande centrée sur l'équateur, deux calottes polaires, une à chacun des pôles, et deux zones tempérées, comprises entre la canicule et les calottes polaires.
Il aurait aussi donné 47°42' comme mesure de l'arc de méridien compris entre les tropiques du cancer et du capricorne extraordinairement proche de la mesure admise aujourd'hui, à savoir 47°40'.
Il est en cela un précurseur de l'oeuvre de Claude Ptolémée (90 - 168 après J.-C.), et de sa célèbre carte du monde, Imago mundi, que restera la référence de représentation de la Terre durant des siècles.
Notons que c'est à Ératosthène que l'on attribue l'origine du mot géographie.
5. Ératosthène et le calcul de la circonférence de la terre.
Ératosthène et aussi célèbre pour son astucieux calcul de la circonférence de la terre.
Si les résultats obtenus par le savant Ératosthène suscitent bien des interrogations quant à leur (trop ?) remarquable précision, il n'en reste pas moins que la méthode utilisée reste fort ingénieuse.
- Position du problème.
Ératosthène part du constat suivant.
Dans la vile de Syène, au midi solaire local, lors du solstice d'été (le 21 juin), un bâton (ou gnomon) planté verticalement n'a pas d'ombre (ou presque). Ératosthène avait en fait remarqué qu'il ni avait pas d'ombre dans un des puits de la ville à cet instant.
Au même moment, à Alexandrie, on peut mesurer l'ombre [AB] formée par un obélisque [AC] sur le sol.
Alors, nous pouvons en déduire une mesure de l'angle BCA.
- La mesure de l'angle ACB.
L'œuvre d'Ératosthène a pratiquement disparu, et même si l'astronome grec CLÉOMÈDE (1er siècle), les historiens STRABON (vers 57 av. J.-C., mort entre 21 et 25 ap. J.-C.) et PLINE l'Ancien (23 - 79 ap. J.-C.) relatent l'histoire de cette mesure, personne ne peut affirmer avec exactitude comment Ératosthène a mesuré l'angle à Alexandrie.
On trouve souvent dans la littérature les valeurs de AC = 50 coudées pour l'Obélisque, et de AB = 6 coudées 1/3 pour l'ombre.
Les relations trigonométriques dans le triangle rectangle ABC permettent de donner une approximation de la mesure de l'angle ACB.
On a donc la configuration suivante :
- La mesure de la circonférence de la Terre.
Cette mesure établie, il ne reste plus qu'à constater que les angles BCA et AOS sont de même mesure si l'on considère que les rayons du soleil (SO) et (CB) sont parallèles.
Pour Ératosthène, il ne reste plus alors qu'à calculer la distance entre les villes de Syène et d'Alexandrie. Pour cela requit l'aide d'un bématiste, c'est à dire d'un arpenteur de l'Egypte antique dont la charge était de mesurer des distances. Le bématiste utilisait une méthode simple, il comptait le nombre de pas (bêma) d'un chameau lors du voyage entre deux points. Le chameau étant réputé pour avoir une marche régulière, les calculs étaient d'une précision assez étonnante.
Le bématiste lui fournit donc une mesure de 5 000 stades entre Alexandrie et Syène, soit environ 800 km ce qui est très proche de la réalité.
Ensuite à l'aide d'une simple règle de trois (ou proportionnalité) on obtient facilement :
Si 800 km correspondent à 7,2°, alors un tour complet soit 360° correspond à :
$$\frac{800 \times 360}{7,2}=40~000~km$$
Remarquable, quand on sait que la valeur retenue de nos jours est à l'Equateur d'environ 40 075, 017 km et, en passant par les pôles, de 40 007,864 km.
6. Ératosthène mathématicien, le crible d'Ératosthène.
Dans son œuvre principale « Platonicus », Eratosthène le mathématicien, présente des définitions de géométrie, d'arithmétique et traite aussi d'autres domaines telles que la philosophie ou la musique.
On y trouve par exemple le principe du Mésolabe qui permet d'obtenir une relation de proportionnalité par utilisations réitérées du théorème de Thalès.
Ératosthène reste surtout célèbre en mathématique pour avoir fourni une méthode de recherche des nombres premiers, c'est à dire des nombres (entiers supérieurs ou égaux à 2) qui ne sont divisibles que par 1 et par eux même.
⇒ Pour en savoir plus sur ce crible, visitez la page : Crible d'Eratosthène.
7. La mort d'Ératosthène et conclusion.
Ératosthène devint aveugle à la fin de sa vie. On raconte qu'il préféra se donner la mort (en se laissant mourir de faim) " ne pouvant plus admirer les étoiles " !
Il est amusant de constater que son domaine de notoriété dépend en fait, de la formation de la personne qui vous parlera de lui. Un professeur de mathématiques le qualifiera de mathématicien (mesure de la circonférence de la terre, crible), un professeur d'histoire-géographie, d'historien ou de premier géographe.
Terminons par une petite anecdote.
Eratosthène, le brillant savant, était aussi un athlète, ce qui lui valu le surnom de Pentathlos.
Ses élèves lui auraient aussi donné le surnom de béta, β.
Pourquoi cela ? Parce que doué dans de nombreuses disciplines, il n'était le meilleur dans aucune ou juste pour indiquer la numérotation de sa classe de cours.
Bibliographie.
- [DaDaPe] : A.DAHAN-DALMEDICO/J.PEIFFER, Une histoire des mathématiques, Seuil, Paris, 1986.
- [HaSu] : B. Hauchecorne et D. Surateau, Des mathématiciens de A à Z, Ellipse, Paris, 1996.
- [TanHs30] : Tangente, Histoire des mathématiques de l'Antiquité à l'an Mil, HS n°30, Pole, Paris, 2007.
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FERRARI Ludovico ou Luigi
Bologne, 1522-1565, Italie.
Ludovico Ferrari était un élève de Cardan et enseigna à Bologne. II réussit à résoudre l'équation du 4° degré par radicaux et exposa sa découverte dans un chapitre de l'Ars Magna de son maître.
Entré au service de Jérôme Cardan dès l'âge de quinze ans comme garçon de courses, avant de devenir son assistant, Ludovico Ferrari commença ainsi une carrière de mathématicien qui devait faire de lui le plus célèbre des disciples de Cardan. Il ne publia aucun ouvrage, mais Cardan incorpora toutes les recherches qu'il fit dans son Ars magna (1545).
En travaillant sur l'équation , x4 + 6 x2 + 36 = 60 x, Ferrari permit la résolution des équations du quatrième degré.
Sa retraite et sa mort.
Ferrari prend sa retraite à 42 ans en ayant gagné suffisamment d'argent pour se permettre d'en profiter. Il retourne dans sa ville natale pour tenir un poste de professeur de mathématiques en 1565. Quelque temps plus tard il meurt d'un empoisonnement à l'arsenic, apparemment assassiné par sa sœur.
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BOMBELLI Rafaël
Près de Bologne, 1526-1572, Italie.
Raffaele BOMBELLI est le dernier grand algébriste italien de cette époque.
Après qu'en 1546, la controverse entre Cardan et Tartaglia devint publique avec la parution des "Quesiti et inventione diverge" de Tartaglia, Bombelli, admirateur de Cardan, conçut le projet d'écrire un traité d'algèbre.
Ce traité, exposition systématique et logique des connaissances algébriques de l'époque, est rédigé entre 1557 et 1560.
Pourtant, quelques années plus tard, Bombelli a l'occasion de lire à Rome le manuscrit des Arithmétiques de Diophante (200/214 - 284/298). Cet ouvrage fut découvert par Regiomontanus (Johannes Müller von Königsberg, 6 juin 1436 - 6 juillet 1476) à Venise prés d'un siècle auparavant.
Rapaël Bombelli en est sûrement très impressionné car il reprend en partie son ouvrage. C'est ainsi qu'il intègre sans même les distinguer des siens, quelque 140 exercices tirés des Arithmétiques, dont 81 ont les mêmes valeurs numériques.
Dans la préface, Bombelli indique qu'il s'est écarté des habitudes des auteurs de son époque, préoccupés surtout de problèmes concrets, et qu'il veut :*
"..enseigner l'arithmétique supérieure et relever la "dignité" de cette discipline".
La comparaison avec la version primitive de l'ouvrage, retrouvée à Bologne en 1923, confirme bien l'abandon de nombreux exercices pratiques, liés à la vie quotidienne, au profit de problèmes formulés abstraitement à la manière de Diophante.
L'Algebra de Bombelli.
Les trois premiers livres de l'Algebra de Bombelli furent publiés en 1572, quelques mois avant sa mort.
Bombelli était donc le premier à diffuser les problèmes de Diophante en Occident, bien que ceux-ci, dispersés dans l'Algebra et beaucoup plus symbolisés, seront identifiés plus tard. Surtout, il favorisait l'émergence d'une formulation plus abstraite et théorique de l'algèbre.
Les Equations.
En ce qui concerne les équations de degré supérieur à deux, Bombelli comme ses contemporains, traite un grand nombre de cas, ne considérant que les coefficients positifs. Cependant son habileté et sa maîtrise à utiliser formellement les racines de nombres négatifs le rendent capable d'établir que la formule de Scipione del Ferro (1465 - 1526) est valable dans tous les cas.
On peut dire que la solution du cas irréductible de l'équation cubique lui revient.
Les équations du 4ème degré sont aussi traitées par les méthodes de FERRARI.
Les Nombres Complexes.
Il appelle les racines carrées d'une quantité négative, piu di meno et meno di meno.
Bombelli considère les racines des équations comme des somme algébriques de nombres positifs affectés d'un des quatre signes suivants :
- piu qui correspond à +,
- meno : soit -,
- piu di meno : soit + i,
- meno di meno : soit - i.
II donne les règles de multiplication de ces quatre éléments.
- Par exemple :
- piu di meno via meno di meno fa piu,
- peut se traduire en : (+i )(-i ) = +1 .
II pose d'autre part que Piu et piu di meno ne s'additionnent pas, ayant ainsi une première intuition de l'indépendance linéaire de 1 et i.
Les Notations.
Notons aussi, comme contribution importante de Bombelli, les progrès que constituent ses notations. La notation des puissances est analogue à celle de Chuquet, bien qu'il ignore la puissance 0 et les puissances négatives déjà employées par le moine et mathématicien allemand Michael Stifel (1486 - 1567).
L'influence de Bombelli sera durable comme en atteste la mention qu'en font Stevin dans son Arithmétique, puis Leibniz (1646 - 1716) et Huygens (1629 - 1695).
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ARGAND Jean-Robert
Genève 1768 - Paris 1822, Suisse.
Sa vie.
Argand Jean-Robert est un mathématicien amateur suisse dont on ne sait que peu de chose.
Fils de Jacques Argand et d'Eves Canac, il s'installe à Paris et ouvre une librairie. Il a deux enfants, un fils vivant à Paris et une fille Jeanne-Françoise-Dorothée- Marie-Elizabeth Argand, mariée à Félix Bousquet, qui vécut elle à Stuttgart.
Il introduit en 1806 la représentation plane des nombres complexes - faite avant lui par Wessel (1745 - 1818).
On lui doit le terme module d'un nombre complexe.
Oeuvres.
Essai sur la manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques.
Notions mathématiques.
Plan d'Argand-Cauchy : Le plan d'Argand-Cauchy est la représentation géométrique des nombres complexes dans un plan euclidien.
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ARCHIMÈDE
Naissance: vers 287 av. J.-C. à Syracuse, Sicile - Mort : 212 av. J.-C. à Syracuse, Sicile
Sa vie.
1. Archimède, en bref.
Né vers 287 avant JC à Syracuse, il serait le fils de l'astronome Phidias (pas le sculpteur qui lui, vécu au 5ème siècle av. J.-C.), dont il fait une brève allusion dans son traité "l'Arénaire".
Archimède passe son enfance à Syracuse et très tôt se rend à Alexandrie pour apprendre auprès d'Euclide (3ème av. J.-C.).
Dans cette célèbre ville qui fut le siège du savoir antique, il rencontre Ératosthène (3ème av. JC), le conservateur de la grande bibliothèque.
Après des voyages en Égypte et en Espagne, il s'installe définitivement à Syracuse.
Protégé par le souverain et mis à l'abri des soucis matériels, il peut alors se consacrer à ses recherches scientifiques.
Le gouvernement lui demande alors souvent conseil pour résoudre des problèmes techniques.
Archimède est, avec Euclide, le plus grand mathématicien de l'antiquité.
Ses découvertes sont connues par des lettres qu'il adresse aux mathématiciens de l'époque.
2. Son apport scientifique : Ses traités.
2a. Archimède, mathématicien.
Archimède est avant tout un géomètre.
2a-1. Approximation du nombre pi.
Dans son ouvrage "Mesure du cercle", il élabore une méthode permettant de donner une approximation précise de pi (π).
En utilisant des polygones réguliers de 96 côtés circonscrits et inscrits dans le cercle, il parvient à démontrer que pi est compris entre 22/7 et 223/71.
Il élabore en outre des tables de sinus (cf. aussi, histoire de la trigonométrie).
2a-2. Paraboles, sphère, cylindres et quadratures.
Archimède étudie les coniques et propose des quadratures originales de la parabole.
Il calcule l'aire délimitée par un arc de parabole et la corde qui le soutend par une technique de calcul utilisant une série convergente, technique de calcul très avancée pour l'époque. Il étudie les solides engendrés par la rotation des coniques autour de leurs axes. Il donne la formule du volume de la sphère et du cylindre ainsi que leurs aires. Il formula à ce titre la demande que soient gravées sur sa tombe ces formules.
Dans son traité sur les sphéroïdes et sur les conoïdes, il étudie les paraboloïdes et les ellipsoïdes. De plus, ses travaux sur les tangentes et les quadratures l'amènent à envisager le calcul différentiel et intégral.
Une courbe, « la spirale d'Archimède», porte son nom. C'est une courbe d'équation polaire ρ = a. θ.
2a-3. Archimède et l'arithmétique.
Ses travaux en arithmétique sont exposés dans deux lettres dont la première est malheureusement perdue.
Ces missives traitent de la numération, en particulier de l'expression de grands nombres.
Il améliore le système numérique grec ( ⇒ voir la page numération grecque), en y introduisant les exposants afin de représenter les grands nombres.
La numération grecque ne permettait pas de dépasser 108.
Il considère alors ce nombre comme une unité, il peut ensuite écrire des nombres jusqu'à 1016 qu'il considère comme un nombre de deuxième espèce etc.
Avec cette méthode, il estime que le nombre de grains de sable que l'on peut mettre dans l'univers est de 1051,
soit " 1000 unités du septième ordre de nombres " .
Un calcul simple montre que, si l'on considère des grains de sables sphériques de 0,1 mm de rayon, empilés dans une sphère, on englobe l'orbite de toutes les planètes, mais pas encore celles des comètes. Archimède était resté à l'intérieur du système solaire.
On considère actuellement que le nombre d'atomes de l'univers est de l'ordre de 1080
2a-4. Archimède et les suites.
En outre il met en rapport pour la première fois, deux suites, l'une arithmétique et l'autre géométrique.
C'est précisément cette méthode que perfectionnera le baron de Merchiston, John Napier, plus connu sous le nom francisé de Neper (1550-1617) , avec les logarithmes dits népériens.
2a-5. Ensemble archimédien.
L'axiome d'Archimède est une formulation antique d'axiomes dits de continuité.
C'est une propriété utilisée dès l'Antiquité. L'axiome s'applique aux grandeurs ayant une raison entre elles, ce qui, selon le livre V des Eléments d'Euclide, signifie :
Des grandeurs sont dites avoir une raison entre elles lorsque ces grandeurs, étant multipliées, peuvent se surpasser mutuellement.
Il précise que :
Il y a toujours un multiple du plus petit qui est supérieur au plus grand.
Si l'on a 2 segments, on peut toujours, en multipliant le petit, dépasser le grand.
On dit alors que le corps IR est archimédien pour rendre homage à l'illustre scientifique, cendant, il l'attribue à EUDOXE de Cnide (-408 — -355 ou -395 — -342) qui l'aurait énoncée un siècle auparavant.
2b. Archimède le physicien.
Archimède est aussi un brillant physicien.
- La vis sans fin.
En mécanique, il est l'inventeur d'un dispositif permettant aux habitants du bord du nil, d'arroser leurs terrains, la vis sans fin (ou vis d'Archimède).
C'est cet appareil élévatoire d'eau, qu'une fresque récemment mise à jour à Pompéi montre mue par le pied d'un esclave.
- La roue dentée.
On lui doit aussi le boulon formé d'une vis et d'un écrou ainsi que la découverte de la roue dentée.
C'est grâce à celle-ci qu'il construit un planétaire représentant l'Univers connu à l'époque.
Mais c'est avant tout par ses recherches en statique et en hydrostatique qu'Archimède se distingue.
- La théorie du levier.
Dans son traité "de l'équilibre des figures planes", il expose sa théorie du levier (deux corps s'équilibrent à des distances inversement proportionnelles à leur poids) et introduit la notion de centre de gravité. Il détermine notamment les barycentres de plusieurs figures géométriques.
Cette découverte fait l'objet d'une anecdote rendue célèbre par Plutarque (40 ap. JC - 120 ap. JC).
« Archimède avança un jour au roi Hiéron, dont il était le parent et l'ami, qu'avec une force donnée on pouvait remuer un fardeau de quelque poids que ce fût.
Plein de confiance sur la force de sa démonstration, il se vante que s'il avait une autre terre, il remuerait à son gré celle-ci en passant dans l'autre.
Le roi étonné de cette assertion, le pria de réduire en pratique son problème. Et de lui faire voir une grande masse remuée par une petite. Archimède ayant fait tirer à terre, avec un grand travail et force de bras, une des galères du roi, ordonna qu'on y mit la charge ordinaire avec autant d'hommes qu'elle pouvait contenir. »
- Tout corps plongé dans un liquide...
Enfin, dans son traité longtemps perdu, "Des corps flottants", il élabore la célèbre loi :
"tout corps plongé dans un fluide subit une poussée verticale, dirigée de bas en haut, égale au poids du fluide déplacé " ,
que l'on nomme communément "poussée d'Archimède".
Pendant longtemps on cherchera en vain ce manuscrit, jusqu'à cette incroyable découverte en 1899.
Cette année-là, un paléographe nommé Papadopoulos Kerameus furetant dans les archives du patriarcat grec de Jérusalem, met la main sur un palimpseste, (du grec ancien, "gratté de nouveau").
Un palimpseste est un parchemin ancien, lavé et réutilisé, montrant des traces d'un traité de mathématiques et la paléographie (du grec palaios, « ancien » et graphein, « écrire ») est l'étude des écritures manuscrites anciennes, indépendamment de la langue utilisée.
Papadopoulos Kerameus publie sa découverte, qui reste ignorée quelques années, jusqu'à ce qu'en 1906, Heiberg, révèle qu'il contient trois textes d'Archimède : le Stomachion, la Méthode, et le Traité des corps flottants.
Les deux premiers étant absolument inconnus, le troisième inédit dans sa version grecque.
Il s'avéra que leur transcription remontait au Xème siècle, et leur tentative d'effacement, du XIIème au XVème siècle.
2c. Ses traités.
Au total, ce sont douze traités qui nous sont parvenus mais on suppose généralement qu'il en écrivit bien plus d'autres.
- De l'équilibre des figures planes, livre I.
- De l'équilibre des figures planes, livre II.
- De la sphère et du cylindre, livres I et II.
- De la mesure du cercle.
- L'arénaire.
- La catoptrique
- De la méthode.
- La Quadrature de la parabole.
- Des spirales.
- Sur les conoïdes et les sphéroïdes.
- Des corps flottants, livres I et II.
2d. Eurêka !
La légende veut que le tyran de Syracuse, Hiéron II (270 av. JC - 215 av. JC), ait demandé au savant de savoir si la couronne fabriquée à sa demande était faite d'or pur ou d'un alliage d'or et d'argent.
En réfléchissant au problème dans son bain, Archimède fut frappé par la diminution de poids de ses membres dans l'eau. Il comprit alors que cette perte de poids correspondait au poids de l'eau déplacée et, dans l'enthousiasme de sa découverte, s'élança nu dans la rue en criant " Eurêka ! Eurêka ! " (j'ai trouvé) .
On ne sait cependant ce qu'il advint du joaillier truqueur.
3. Archimède le stratège : La défense de Syracuse.
En 215 av. J.-C., Archimède organise la défense de Syracuse face à l'invasion des Romains et du général Marcellus lors de la seconde guerre punique au cours de laquelle les habitants de Syracuse s'étaient alliés aux Carthaginois, après avoir été les alliés de Rome pendant près d'un demi-siècle.
Durant trois ans, il fait construire des machines de guerre afin de résister aux galères romaines qui font face à Syracuse.
Anthemius de Tralles (474 - 534) - dont les écrits contestés irritèrent Descartes (1596 - 1650) - fait le récit de l'utilisation par Archimède, de Catapultes et de miroirs ardents, lors de cette bataille légendaire.
Tite-Live (59 av. JC - 17 ap. JC) raconte :
"Un levier, établi au-dessus du mur, lançait sur la proue de ses vaisseaux une main de fer attachée à une forte chaîne. Un énorme contrepoids en plomb ramenait en arrière la main de fer qui enlevait ainsi la proue, suspendait le vaisseau droit sur sa poupe; puis le rejetait de telle sorte qu'il paraissait tomber du mur....."
- La controverse des miroirs ardents.
Peinture murale de Stanzino delle Matematiche à la Galleria degli Uffizi (Florence, Italy).
Par Giulio Parigi (1571-1635) en 1599-1600.
Si la légende est belle, beaucoup de scientifiques dont Descartes (1596 - 1650) s'accordent à penser que les faits sont peu vraisemblables.
La question, aujourd'hui encore, n'est pas absolument éclaircie. Mais les experts font généralement preuve de scepticisme.
En 1977, le dossier a été une nouvelle fois examiné par un spécialiste des phénomènes de combustion, l'Anglais D. L. Simms.
D'après lui, le doute n'est pas permis : non seulement les preuves historiques sont fragiles, mais il est scientifiquement et techniquement impossible que cet exploit ait pu être réalisé.
Au IIIème siècle avant Jésus-Christ, il affirme qu'il est invraisemblable qu'Archimède ait eu les connaissances et les moyens matériels nécessaires.
Autrement-dit, l'expertise technologique confirmerait sans ambiguïté le verdict défavorable de nombreux historiens : l'épisode des miroirs d'Archimède serait un mythe inventé de toutes pièces.
La question technique, demeure ouverte.
Rien n'empêche de croire qu'Archimède, avec des miroirs métalliques par exemple, ait été en mesure d'obtenir de bons résultats.
Cette supposition a été assez bien confirmée, en 1973, par une expérience, due à Ioannis Sakkas, un ingénieur grec.
Comme miroirs, il a utilisé des surfaces ayant en principe des dimensions comparables à celles des boucliers grecs classiques (environ 1,70 m sur 0,70 m).
Pour ne pas trop s'éloigner de la réalité historique, il a même pris soin de modifier la surface de ses panneaux de glace en les recouvrant d'une mince pellicule de bronze pas trop bien polie.
Ayant ainsi préparé soixante-dix « boucliers-miroirs », il les a confiés à des aides qui, au Pirée, concentrèrent les rayons solaires sur le modèle réduit d'une galère (longueur : 3,60 m) qui flottait à une cinquantaine de mètres.
En deux minutes, la cible prit feu ; et ce de façon assez intense.
D. L. Simms lui-même semble admettre qu'à Syracuse, avec un beau soleil, l'effet aurait pu être plus rapide. La conclusion, c'est que des moyens modestes permettent d'obtenir des résultats assez spectaculaires. L' expérience d'Archimède n'est peut-être pas un miracle.
Mais D. L. Simms ne s'avoue pas vaincu. Brûler une cible fixe est envisageable mais il faut qu'elle soit exactement située au « foyer» du miroir. Mais ce n'est pas vraiment le cas d'une galère qui peut se déplacer à sa guise (enfin si les rameurs y consentent).
Alors puisqu'on ne peut vraiment démontrer qu'Archimède n'a pas pu réaliser de tels exploits, accordons un peu de crédit à cette jolie légende !
5. La mort d'un génie.
Cependant, la ville est finalement envahie et Archimède est tué lors des combats, à 75 ans !.
Selon le biographe Plutarque (40 ap. JC - 120 ap. JC), un soldat romain croisa Archimède alors que celui-ci traçait des figures géométriques sur le sol. Troublé dans sa concentration par le soldat, Archimède lui aurait lancé « Ne dérange pas mes cercles !», citation restée célèbre.
Le soldat vexé par le vieillard de 75 ans, l'aurait alors tué d'un coup d'épée. En hommage à son génie, Marcellus lui fit de somptueuses funérailles et fit dresser un tombeau décoré de sculptures représentant une sphère et son cylindre circonscrit.
Une gravure d'après un tableau du peintre Gustave Courtois (1853-1923).
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PYTHAGORE de Samos
Naissance: vers 569 av.J-C. à Samos, Ionie - Mort: vers 475 av.J.-C. à Crotone ?
Sa vie
D'une génération plus jeune que le mathgématicienThalès, le célèbre Pythagore aurait vécu dans la seconde moitié du 6ème siècle av. J. C.
Bien sur, peu de choses sont avérées, il faut plutôt lire l'histoire ci-dessous comme un joli conte. Quelques épistémologues avertis vont même jusqu'à voir en Pythagore un nom générique, (c'est un nom courant à l'époque), désignant un groupe de personnes.
Cependant Euclide le cite ainsi que quelques historiens de l'antiquité, alors..... rêvons.
1. Pythagore et ses voyages formateurs
Né à Samos (Grèce), Pythagore avait 18 ans lorsqu'il participa aux Jeux olympique et remporta toutes les compétitions de pugilat (sport de l' antiquité comparable à la boxe, mais dans lequel les combattants portaient au poing un gantelet garni de fer ou de plomb, la ceste).
Par la suite, il décida de voyager.
- En Ionie toute proche, il passa quelques années auprès de Thalès et de son élève Anaximandre (v. 610 BC - v. 546 BC).
- Puis en Syrie, il séjourna avec les sages Vénitiens qui l' initièrent aux mystères de Byblos.
- Puis au mont Carmel, dans le Liban d' aujourd'hui.
- De là, il s' embarqua pour l' Égypte et y resta 20 années.
Lorsque les Perses envahirent le pays, il se serait retrouvé prisonnier et emmené à Babylone. Durant 12 années, il y acquiert l' immense savoir des scribes et mages babyloniens.
Pythagore a acquis ses connaissances mathématiques au cours de ses voyages.
On avance même qu'il aurait été jusqu'en Inde et en Bretagne, mais il est plus certain qu 'il ait recueilli plusieurs de ses techniques et de ses outils mathématiques auprès des Égyptiens et des Babyloniens.
Ces deux peuples avaient dépassé les limites de l' arithmétique élémentaire et étaient capables d'effectuer des calculs complexes : résolution d' équations du second degré (c. f. histoire des équations), système de numération évolué (c. f. numération babylonienne).
Cependant, ils considéraient les mathématiques comme un simple instrument utile pour résoudre des problèmes pratiques, ainsi, les motifs de la recherche de certaines règles de géométrie étaient d' établir les limites des champs recouverts lors des crues du Nil (le mot géométrie signifie "mesure de la terre").
Pythagore s' avisa que les Égyptiens et les Babyloniens effectuaient chaque calcul selon des recettes qu 'ils se transmettaient de génération en génération, sans en analyser la logique.
2. Le retour de Pythagore à Samos
Au terme d' une quarantaine (?!) années de voyages, Pythagore avait assimilé toutes les règles mathématiques du monde connu. Il partit pour son île natale de Samos en mer Égée, avec l' intention de fonder une école consacrée à la philosophie et aux règles mathématiques découvertes.
En son absence, le tyran Polycrate (535 av. JC- 515 av. JC) avait changé l' île ; jadis libérale, elle était devenue intolérante et conservatrice. Pythagore refusa l' invitation de Polycrate (535 av. JC- 515 av. JC) à sa cour et quitta la ville pour s' installer dans une caverne.
L' isolement lui pesa et il finit par proposer de l'argent à un garçon (dont le nom aurait été également Pythagore selon quelques historiens) pour qu'il devînt son élève.
Du maître au disciple.
Pythagore le maître, payait Pythagore l'élève, 3 oboles par leçon et le premier se rendit compte de l'enthousiasme manifesté par le garçon au bout de quelques semaines. Pour mesurer son succès, Pythagore prétendit manquer de moyens pour continuer, ainsi et le garçon proposa de payer pour son éducation plutôt que de l'interrompre.
L'élève était devenu disciple. Ce fut malheureusement la seule conversion effectuée par Pythagore à Samos. Il y eut bien une école connue sous le nom de l'Hémicycle de Pythagore mais les notions de réforme sociale y étant enseignées conduisirent Pythagore à fuir Samos en compagnie de sa mère et de son unique disciple.
3. Pythagore à Crotone : La fraternité pythagoricienne
3a. La naissance de la Fraternité pythagoricienne et son fonctionnement.
Pythagore fit voile pour l'Italie du sud (qui faisait alors partie de la Grande Grèce), débarqua à Sybaris (la ville de tous les plaisirs) et s'installa à Crotone.
Il eut la chance d'y trouver Milon, le protecteur idéal, l'homme le plus riche de la ville et l'un des plus forts de Grèce (couronné 12 fois aux Jeux olympiques et pythiques).
Dans la sécurité de sa nouvelle installation, Pythagore fonda la Fraternité pythagoricienne, un groupe (ou une secte, sans doute la première) qui compta 218 (certains avance le nombre de 600..) pythagoriciens
3b. Les pythagoriciens célèbres.
Parmi les pythagoriciens, outre le maitre on compte, Philolaos (5ème av. J.-C.), Archytas (428-347 av. J.-C.), Hippase de Métaponte (5ème av. J.-C.), Hippocrate de Chios ( 470 av.JC - 410 av. JC), Théodore de Cyrène (470 av. JC - 420 av. JC), Philolaos (5e av. JC) (Pythagoricien Astronome et spécialiste de la cosmogonie, il avait imaginé un système du monde où la terre et les autres planètes tournaient sur elles-mêmes ET autour d'un feu central !!), Architas de Tarente.
Cette école pythagoricienne dura près de 150 ans mais tous ne furent pas mathématiciens, loin s'en faut.
L'école pythagoricienne accueillait aussi des femmes, comme élèves et comme professeurs.
Le philosophe JAMBLIQUE (250 à Chalcis (Syrie) - 325) dans son ouvrage, la Vie de Pythagore, répertorie 17 pythagoriciennes remarquables, filles ou femmes de pythagoriciens.
Timycha, épouse de Myllias de Crotone ; Philtys, fille de Theophrios de Crotone ; Théano, épouse de Brontinos de Métaponte ou de Pythagore lui même....
Selon certains, Théano était la fille d'un philosophe et médecin crétois nommé Pythonax (admirateur de Pythagore). Disciple de l'école, elle serait devenue l'épouse du maître Pythagore.
3c. Le fonctionnement de la fraternité.
Les tests d'entrée.
Lorsqu'il adhérait à la fraternité, chaque disciple devait faire don de toutes ses possessions à un fond commun. A son départ, il recevait le double de ce qu'il avait offert en arrivant et l'on érigeait une stèle en sa mémoire.
Pythagore se chargeait de tester les candidats. Il commençait par observer si le postulant était capable de "tenir sa langue", c'est le terme qu'il employait.
Pouvait-il se taire et garder pour lui tout ce qu'il avait entendu durant les séances d'enseignement ?
La salle de cours était séparée en deux par un rideau.
Pythagore se trouvait d'un côté, les postulants de l'autre ; ils n'avaient accès qu'à un enseignement oral. L'épreuve durait 5 ans.
Ce rideau avait une extrême importance dans la vie de l'école pythagoricienne. Les membres de l'école étaient répartis en 2 catégories. Du côté de la salle où se trouvait Pythagore et pour le reste de leur vie, les ésotériques, et de l'autre les exotériques.
Le savoir préservé.
Les textes des pythagoriciens étaient eux aussi soumis au secret ; rédigés dans un langage à double sens, ils n'étaient réellement accessibles que par les initiés. Ils parlaient de sumbola(symboles) et d'ainigmata (énigmes).
La plupart des connaissances se transmettaient de bouches à oreilles, cela donnait lieu à une deuxième séparation.
Il y avait :
- les "acousmaticiens", ou akoustiskoï (de akousmata, les choses entendues) à qui l'on transmettait les résultats mais pas les démonstrations,
- et les "mathématiciens", ou mathematikoï (de mathema, la science, c'est à dire chez les grecs, toute la connaissance) à qui l'on transmettait les résultats et les démonstrations.
Hippase (v. 500 av. JC) (qui inventa dit-on la moyenne harmonique), fut l'un des premiers pythagoriciens ; il était le chef des "acousmaticiens", les candidats à l'initiation, tandis que Pythagore dirigeait les "mathématiciens", les initiés.
Tous les membres de la fraternité devaient donc exercer leur mémoire. Chaque matin, ils devaient se remémorer les événements de la veille.
3d. Les fondements la Fraternité pythagoricienne : "TOUT EST NOMBRE".
Avec les pythagoriciens, l'univers des mathématiques s'est agrandi.
Ils ont introduit la musique et la mécanique.
Leur vision mystique des nombres ne les a pas empêchés de fonder l'arithmétique comme la science des nombres. C'est à eux que l'on doit les premières véritables démonstrations de l'Histoire.
Pour Pythagore, "tout est nombre" (on entend par nombre un entier ou une fraction), c'est dans la musique qu'il les dénicha pour la 1ère fois.
En effet, la musique était alors une partie intégrante de la science et des mathématiques. L'harmonie était la mise en son de rapports numériques.
L'ordre des cieux s'exprimait par une gamme musicale. La musique des sphères.
Pour dire cela , Pythagore inventa le mot "cosmos" (mot gr. ordre), "Le bon ordre et la beauté".
Et l'histoire du monde se raconta comme la lutte du cosmos contre le chaos.
Donner à la connaissance de la nature un fondement numérique, tel était le projet des pythagoriciens.
En outre, peu après avoir fondé la Fraternité, Pythagore inventa le mot philosophe.
Alors qu'il assistait aux Jeux olympiques, Léon, prince de Phlius, demanda à Pythagore comment il se définissait. "Je suis un philosophe ", répondit-il.
« La vie, prince Léon, peut être comparée à ces jeux publics, car dans le vaste public assemblé ici se trouvent des gens qui sont attirés par le gain, d'autres par les espoirs de la renommée et de la gloire. Mais il y en a aussi qui sont venus pour observer et comprendre tout ce qui se passe ici.
Il en va de même avec la vie. Certains sont menés par l'amour et la richesse, d'autres guidés aveuglement par la soif insensée de puissance et de domination, mais l'homme le plus noble se consacre à la découverte du sens et du but de la vie. Il cherche à découvrir les secrets de la nature. C'est celui que j'appelle un philosophe car , bien qu"aucun homme ne soit sage à tous égards, il peut aimer la sagesse comme clef des secrets de la nature. »
4. Les découvertes de la Fraternité pythagoricienne
4.a. Le théorème de Pythagore.
Le fameux théorème de Pythagore, qu' Euclide (3e av. JC) démontre dans ses "Éléments" est bien sur la plus célèbre "découverte" qu'on leur attribue.
Il faut préciser ce théorème de Pythagore.
« Dans un triangle rectangle, la carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des 2 autres côtés.»
Ici a² = b² + c², c'est à dire que l'aire du carré de côté a construit sur l'hypoténuse du triangle rectangle, est égale à la somme des aires des deux autres carrées.
Cependant, des tablettes cunéiformes attestent de la connaissance par les babyloniens de ce théorème. Il était en fait déjà connu des chinois et des Babyloniens, 1 000 ans auparavant.
Par contre, ces derniers n'avaient pas conscience que le théorème valait pour tous les triangles rectangles.
La découverte, que ce théorème s'applique à tous les triangles rectangles, fut tellement sensationnelle que 100 bœufs furent sacrifiés en témoignage de gratitude à l'égard des dieux (on appelait cela une hécatombe).
La première démonstration.
Nous devons la première démonstration attestée de la propriété de Pythagore à Euclide (3e av. JC).
Il s'agit de la proposition 47 du 1er livre des Éléments et de la réciproque, proposition 48, qui terminent ce 1er livre.
Ce théorème compte 370 démonstrations (d'Euclide, des savants chinois, du 20e président des États-Unis, James Abram Garfield en 1876......etc..) faisables en classe de seconde.
Il n'existe aucune preuve que les pythagoriciens en connaissaient une démonstration,et les historiens des sciences pensent généralement que non, bien qu'ils aient conscience de la nécessité d'une démonstration.
Compléments : => théorème de Pythagore
4.b. La mystique des nombres.
Pour les pythagoriciens, TOUT EST NOMBRE. Ils associent chaque nombre (entier) à une figure géométrique.
Pour les pythagoriciens, les l'Univers des Nombres se compose de :
- La monade : le nombre un,
- La dyade : le nombre deux, premier nombre paire et féminin,
- La triade : le premier nombre impair et masculin,..
- La décade : qui représente la somme des points contenus dans le Tétraktys, symbole ésotérique pour les membres de la fraternité.
Les pythagoriciens ont étudié cette figure considérée comme mythique, le Tétraktys, La Décade.
Le Tétraktys est "une image figurée de la structure du monde".
La figure classique est celle d'un triangle de quatre lignes tel que 1 + 2 + 3 + 4 = 10 points ou cailloux.
Il représente l'être parfait car il contient toute les dimensions de l'espace : 1 (le point), 2 (la ligne), 3 (la surface) et 4 (le solide). Il est la somme des 4 premiers nombres : 1+2+3+4 = 10.
On raconte qu'ils lui auraient même adressé une prière :
« Bénis-nous, nombre divin, toi qui as engendré les dieux et les hommes ! O sainte, sainte Tétraktys ! toi qui contiens la racine et la source du flux éternel de la création ! Car le nombre divin débute par l'unité pure et profonde et atteint ensuite le quatre sacré; ensuite il engendre la mère de tout, qui relie tout, le premier-né, celui qui ne dévie jamais, qui ne se lasse jamais, le Dix sacré, qui détient la clef de toutes choses. »
4.c. L'étude des nombres, l'arithmétique.
Les pythagoriciens s'intéressèrent aux nombres entiers, aux nombres parfaits (somme de leur diviseurs propres), aux nombres "excessifs", "imparfaits". (cf. les nombres remarquables).
Ils tentèrent de trouver des nombres "un peu excessifs", c'est à dire dont la somme des diviseurs était supérieure d'une unité à ces nombres. Ils n'y arrivèrent pas et, de nos jours, nous restons incapables de prouver qu'il n'en existe pas !!!
4.d. La première crise de l'histoire des mathématiques.
La découverte des nombres irrationnels, c'est à dire des nombres que l'on ne peut pas écrire sous le forme d'une fraction, est généralement attribuée aux pythagoriciens.
Les pythagoriciens démontrèrent l'irrationalité de √2 : Cette découverte serait due à Hippase de Métaponte qui, après avoir enfreint les règles de la fraternité en divulguant sa découverte, péri dans un naufrage.
Cette découverte débouche sur la première crise de l'histoire des mathématiques.
En effet, les pythagoriciens pour qui tout est nombre (ils entendent par là, tout est entier ou rationnel) ne peuvent supporter l'apparition de nouvelles entités numériques. Toute leur vision du monde en est changée.
La diagonale d'un carré de côté 1 est √2, est une grandeur incommensurable, inexprimable, alogon (indicible, privé de raison commune), puisqu'elle ne peut pas s'écrire sous la forme d'une fraction.
C'est une découverte très dure pour la fraternité, puisqu'un de ses fondements, le lien capital entre les nombres et les grandeurs, fut brutalement rompu.
4.e. En géométrie.
On a vu que l'arithmétique des pythagoriciens est géométrique, puisqu'à chaque nombre ils associent une figure.
Ils démontrèrent aussi que la somme des mesures des angles d'un triangle fait 180°.
5. La mort de Pythagore
Les nouvelles des succès de la Fraternité se répandirent mais la teneur des découvertes restait jalousement gardée. Il y avait beaucoup de candidats au saint du saint du savoir, mais n'étaient acceptés que les esprits les plus brillants.
L'un des recalés fut Cylon. Il s'en offensa et, comme nous allons le voir, il se vengea 20 ans plus tard.
Lors de la 67e Olympiade, en 510 avant notre ère, une révolte éclata dans la cité voisine de Sybaris. Telys, le meneur et héros de la révolte, entreprit des persécutions contre les partisans du gouvernement précédent, ce qui poussa plusieurs d'entre eux à se réfugier à Crotone.
Telys demanda que les traîtres fussent expulsés vers Sybaris pour y subir leur châtiment, mais Milon et Pythagore convainquirent les citoyens de Crotone de résister au tyran.
Après 70 jours de guerre, Milon et ses 100 000 citoyens armés remporta la victoire face à Telys et ses 300 000 hommes.
Cependant, après la guerre, Crotone se divisa sur la partage du butin. Craignant que les terres fussent données aux pythagoriciens, le peuple de Crotone fronda. Les choses s'envenimèrent quand Cylon, se présenta comme la voie du peuple. Attisant la peur et l'envie de la foule, il lança la populace à l'assaut et détruisit la plus brillante école de mathématiques jamais vue. Les bâtiments furent incendiés et Pythagore et plusieurs de ses disciples y périrent.
Après la mort de son fondateur, la Fraternité quitta Crotone pour d'autres cités de la Grande Grèce mais la persécution continua et plusieurs pythagoriciens durent chercher refuge dans des contrées étrangères. Les disciples essaimèrent donc leur évangile mathématique au travers du monde antique.
Bibliographie
- [Esco] : Jean-Pierre ESCOFIER, Théorie de Gallois, Masson, Paris, 1997. Page 12
- [Guedj1] : Denis GUEDJ, Le théorème du perroquet, Seuil (*)
- [Singh ] : Simon Singh, Le dernier théorème de Fermat, JC Jattès.
- [TanHs30] : Tangente, Histoire des mathématiques de l'Antiquité à l'an Mil, HS n°30, Pole, Paris, 2007.
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CARDAN Gerolamo
Pavie, 1501 -Rome, 1576, Italie.
Sa vie.
Gérolamo Cardano, étudie la médecine aux universités de Pavie puis de Padoue. Là il obtient son diplôme de médecin en 1526. Il s'installe ensuite à Milan, vivant pauvrement de ses cours de mathématiques.
En 1539, il est admis au collège de médecine et en devient le recteur. En 1543, il devient professeur de médecine à l'université de Pavie.
Un malheur vient alors bouleverser la fin de sa vie. Un de ses fils est condamné à mort pour avoir empoisonné sa femme libertine et est exécuté. Cardan ne s'en remettra jamais.
De 1562 à 1570, il est professeur à l'université de Bologne mais, suspecté d'hérésie, il est jeté en prison et perd le droit d'enseigner et de publier. Il part donc à Rome et y finit ses jours.
Ses travaux mathématiques.
Ses travaux mathématiques portent sur la résolution des équations de degré 3 et 4, c'est à dire des équations de la forme :
où tous les coefficients sont positifs.
C'est dans son célèbre ouvrage Ars Magna (1545) qu'il publia la méthode de résolution de l'équation du 3° degré qu'il obtint de TARTAGLIA comme nous l'allons voir.
Son nom est actuellement bien connu car le mécanisme d'articulation qu'il avait inventé pour supporter la boussole dans les vaisseaux, ( à cette époque où les grands voyages maritimes se développent), a trouvé de nombreuses utilisations.
II écrivit un autre ouvrage intitulé La Subtilité dont voici un court passage consacré à Archimède.
"On peut trouver plusieurs personnages excellents aux disciplines, du nombre desquels j'en ay esleu douze, laissant à chacun son jugement.
Qu' Archimèdes soit nombré le premier des douze, non seulement pour ses livres divulguez, ains pour ses inventions mécaniques, par lesquelles il a souvent rompu la force des Romains, comme dict Plutarchus, lequel recite admirables inventions d'iceluy en la vie de M. Marcellus : et nous en avons recité autres non moindres selon le tesmoignage de Galien. Archimedes donc n'estoit tant premier, qu'inimitable autheur en ces inventions : et n'a desdaigné de louër l'esprit de ceux qui ensuivent les Grecules et qui parlaient un peu Grec (ainsi les appelle Cicero de ce mot Graeculi) mesme n'a desdaigné Prendre son sepulchre entre les ruines et lieux spineux de la ville Syracuse.
Le conflit Tartaglia-Cardan et la résolution des équations de degré 3.
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Le conflit Tartaglia - Cardan et la résolution des équations de degré 3.
Le contexte historique
Les équations de degré 3 ne sont résolues dans un cadre général qu'à partir du 16e siècle par les mathématiciens italiens. Les deux grandes figures de cette histoire sont Tartaglia et Cardan dont voici l'histoire du conflit les opposant.
Les grands mathématiciens italiens
C'est Scipione Del Ferro (1465-1 526), professeur de mathématiques à Bologne, qui le premier parvient à trouver une méthode permettant de résoudre certaines équations du 3ème degré. Longtemps, il conserve secrète sa méthode (comme il est coutume de le faire à l'époque) puis finit par la communiquer à son gendre, Annibal de la Nave, lui aussi mathématicien.
Ce dernier la communique à l'un de ses amis, Anton Maria Del Fiore en 1526, qui garde le secret jusqu'à la mort de Scipione Del Ferro. Par la suite, Anton Maria Del Fiore ne divulgue pas la méthode mais par contre décide de lancer des défis aux mathématiciens (quelques centaines tout au plus à cette époque) en son propre nom sur la résolution de ces équations.
Le défi relevé par Tartaglia
Niccolò Fontana dit Tartaglia (« Le Bègue »)
En 1535, Tartaglia releva le défi algébrique et une sorte de duel s'engagea entre les deux hommes. Chacun déposa une liste de 30 problèmes chez un notaire ainsi qu'une somme d'argent. Celui qui, dans les 40 jours, aurait résolu le plus de problèmes serait désigné vainqueur et remporterait la somme.
- Exemple de problème : ils sont tous de la forme \(x^3 + px = q\)
" Trouver un nombre qui, ajouté à sa racine cubique, fasse 6"Donc avec les notations actuelles, trouver x tel que : \(x + ^3\sqrt{x}= 6\)
Pour résoudre cette équation on pose \(x = a^3\) et on obtient \(a^3+ a = 6\) que l'on sait résoudre avec la méthode exposée sur la page équations.
Dans la nuit du 12 au 13 février, juste avant la date limite, Tartaglia trouve la résolution générale de ce type d'équation et il les résout toutes en quelques heures. Il remporte alors le concours mais refuse le prix (trente banquets). Trop heureux de sa méthode, il décide de ne pas la divulguer afin de gagner facilement d'autres concours.
Cardan apprend l'exploit de Tartaglia et se doute que ce dernier a trouvé la solution au problème que nombres de mathématiciens cherche depuis des années (voir des siècles). Usant de sa notoriété d'alors, Il le fait venir à Milan. Après plusieurs entretiens, il lui arrache sa méthode en lui promettant de ne jamais la divulguer.
«Je vous jure par les Saints Evangiles,» affirma solennellement Cardan, «Je vous en réponds sur mon honneur, de ne jamais publier votre découverte si vous me la révélez, mais je vous promets aussi, que ma conscience de chrétien vous en soit garante, de la chiffrer de telle façon qu'après ma mort, nul ne puisse lire ce que j'aurai écrit.»
Un an plus tard, Cardan publiera la méthode, sous son nom, dans son ouvrage Ars Magna (1545) !
Jérôme Cardan autoportrait
On raconte que Tartaglia, du fait de son handicap, vouait une certaine admiration pour les médecins. Cardan en usa avec fourberie !
Cardan prolonge alors les travaux de Tartaglia et trouve une méthode plus générale encore de résolution des équations de degré 3.
Tartaglia avait trouvé la méthode de résolution des équations de la forme : \(x^3 + px = q\)
Cardan, obtient celle des équations de la forme : \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\)
Il apprend alors que Scipione Del FERRO avait trouvé la solution avant Tartaglia, il considère alors que la parole donnée ne vaut plus rien et publie, en 1545, ses résultats dans son ouvrage resté célèbre Ars Magna.
La querelle qui suit devient énorme et le pauvre Tartaglia manque d'en perdre la vie.
L'Histoire ne sera en outre pas favorable à Tartaglia. La méthode de résolution des équations de degré 3 est encore appelée méthode de Cardan dans la plupart des livres post-Bac.
Peu d'étudiants connaissent même le nom de Tartaglia, qui pourtant, aurait mérité reconnaissance et postérité !
En effet, avec cette méthode, seront introduit les nombres complexes, c'est à dire les nombres de la forme \(a + ib\) avec \(i = \sqrt{-1}\), étudiés actuellement en terminale scientifique.
Tout d'abord, comme une étape intermédiaire au calcul des solutions réelles de l'équation, les nombres complexes deviendront vite une nouvelle entité mathématique. Ils vont fournir un prolongement de l'ensemble des nombres réels et trouveront des applications multiples en physique.
Compléments
- Pour en savoir plus sur l'histoire des équations.
- Les nombres complexes et leur histoire : nombres complexes
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TARTAGLIA Nicolo
Brescia, 1500? - Venise, 1557, Italie.
Sa vie.
Nicolo Fontana était surnommé Tartaglia, le bègue. (Tartagliare signifie bégayer en italien).
En effet, il fut gravement blessé par l'épée d'un cavalier français, dans la grande église de Brescia le 19 février 1512 dans laquelle il se réfugiait avec sa mère.
Les troupes en Italie de l'armée royale française étaient alors menées par le terrible Gaston de Foix-Nemours (1489-1512) , surnommé "foudre d'Italie".
Niccolo qui avait alors 12 ans fut retrouvé la mâchoire fracassée. Aidé seulement par sa mère, veuve depuis 6 ans et trop pauvre pour faire appel à un médecin, il mit très longtemps avant de retrouver la parole.
On raconte que le père de Niccolo (Fontana) avait engagé un professeur pour instruire son fils de 6 ans et que celui-ci arrêta les cours (-après la mort de Monsieur Fontana-) alors qu'il ne lui avait enseigné qu'un tiers de l'alphabet (de A à I). Il poursuivit seul son apprentissage.
"Tout ce que je sais, je l'ai appris en travaillant sur les œuvres d'hommes défunts", disait-il.
Ses travaux.
Autodidacte, Tartaglia s'intéressa non seulement à l'arithmétique, à l'algèbre et à la géométrie mais aussi à la balistique et à la statique. Il fut par ailleurs un des nombreux traducteurs des œuvres d'Archimède (3ème av. JC).
Cependant il est surtout célèbre pour sa découverte d'une méthode de résolution des équations du 3° degré.
Cette découverte, faite en 1537, fut dévoilée à Cardan en 1539 et c'est celui-ci qui la diffusa. On lui donne le nom de "méthode de Cardan" encore aujourd'hui dans la plupart des livres de premier cycle universitaire.
La diffusion de cette méthode engendra un célèbre conflit qui nous détaillons ci-après.
Remarque : Scipione del Ferro (1465-1 526) fut un précurseur de Tartaglia dans ce domaine mais les papiers de celui-ci sont perdus.
Le conflit Tartaglia-Cardan et la résolution des équations de degré 3.
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GALOIS Évariste
né le 25 octobre 1811 à Bourg-la-Reine, mort le 31 mai 1832 à Paris, France.
Sa vie.
1. Les parents d' Evariste et le contexte historique.
Évariste Galois naît à Bourg-la-Reine en 1811, (Bourg-l'Egalité pendant la révolution, à 10 km au sud de Paris). Les parents Évariste Galois, son père Nicholas Gabriel Galois et sa mère Adélaïde Marie Demante sont des gens intelligents et cultivés.
Ils sont férus de philosophie, de religion et de littérature classique. On ignore toutefois s'ils possédaient de quelconques habilités en mathématiques.
La mère de Galois, fille de magistrat, est son unique professeur jusqu'à l'âge de 12 ans. Elle lui enseigne le grec, le latin et la religion.
Le père de Galois, est libéral, maire de la commune et directeur de collège pendant les Cents-jours.
C'est ainsi que l'on qualifie une période qui nous est présentée comme glorieuse et qui commence avec le départ de Napoléon de l'île d'Elbe pour se terminer piteusement à Waterloo.
C'est au cours de l'année 1815 que le "règne" de Napoléon (1769-1821) se termine. Il abdique pour la première fois le 6 avril 1814, Louis XVIII (1755-1824) est alors élut roi par les Alliés (le 24 avril 1814) et meurt en septembre 1824. C'est son frère Charles X (1757-1836) qui prend alors la succession.
2. Les études d' Evariste
Louis le Grand.
Durant ces événements, Évariste Galois fréquente l'école. Il est depuis 1823 (à 12 ans) pensionnaire au Lycée Louis le grand, à l'époque collège royal de Louis-le-Grand (la préposition disparait en 1831).
Galois double toutefois son année scolaire 1826-1827 car ses résultats en rhétorique sont trop faibles. A l'époque, en France, les études sont à base classique et les sciences peuvent être abordées comme des cours supplémentaires.
Février 1827 constitue un tournant dans la vie d'Évariste. En effet, il est inscrit à son premier cours de mathématiques dans la classe de M. Venier. Peu à peu, il se fascine pour les mathématiques.
Il lit Legendre (1752-1833) et ses fameux "Éléments de géométrie" ( Euclide revisité), mais aussi, Lagrange (1736-1813) (textes sur la résolution des équations), Euler (1707-1783), Gauss (1777-1855), Jacobi (1804-1851).
Son directeur écrit d'ailleurs à cet effet :
"La passion pour les mathématiques domine chez-lui. Je pense que le mieux pour cet étudiant serait que ses parents lui permettent de n'étudier que les mathématiques. De toute façon, il perd son temps à assister à ses autres cours. Il ne fait que causer du tourment à ses professeurs et de se nuire avec toutes les punitions qu'il se mérite."
Son entourage commence à le trouver singulier, original, bizarre et fermé (il est étonnant de constater qu'un des mathématiciens les plus originaux ayant jamais existé fut critiqué pour son originalité). À la même époque, M. Venier rapporte sur le relevé de notes de Galois: "Intelligence, progrès marqués, mais pas assez de méthode."
L'école Polytechnique.
En 1828, Galois rate l'examen d'admission de la célèbre l'école Polytechnique, la meilleure université de Paris.
Il retourne donc à Louis le grand et s'inscrit dans la classe de mathématiques spéciales de Louis Richard (33 ans) qui admettra avoir admiré le génie de son élève. Il conserve les copies de Galois qu'il confiera plus tard à un autre de ses élèves, Charles Hermite (1822-1901).
Louis Richard encourage Galois à publier ses premiers travaux ; un article (sur les fractions continues) paraît le 1er avril 1829, dans les "Annales de mathématiques", revue fondée par un mathématicien spécialiste de la géométrie projective, Joseph Gergonne.
Toutefois, Galois délaisse de plus en plus ses travaux scolaires pour se concentrer sur ses recherches personnelles. Il étudie la Géométrie de Legendre (1752-1833) et les traités de Lagrange (1736-1813).
3. La mort de son père.
Le 25 mai et le 1 juin, il soumet des articles sur la résolution d'équations algébriques, à l'Académie des Sciences.
Une terrible tragédie secoue Galois, le 2 juillet 1829, lorsque son père, en butte aux attaques du curé de Bourg-la-Reine ( le curé écrit des lettres anonymes et les lui attribue !), se suicide.
Son enterrement donne lieu à une petite émeute. Pendant que le cercueil était descendu dans la fosse, un esclandre éclata entre le jésuite qui dirigeait le service et les partisans du maire informés du complot monté contre ce dernier. Le prêtre reçut un projectile au front et l'altercation tourna à l'émeute. Cet événement affectera grandement Évariste et influencera certainement ses orientations.
Le deuxième échec à l'école Polytechnique.
Quelques semaines après la mort de son père, Galois se présente pour la seconde fois à l'examen d'admission de l'école Polytechnique.. Une fois de plus il échoue à la stupéfaction de son professeur.
L'examinateur ( Dinet ou Lefébure de forcy) aurait posé une question sur les logarithmes, jugée trop simple, voire stupide, par Galois qui aurait jeté un chiffon à la tête de l'examinateur. (Cet événement est mis en cause par le mathématicien Joseph Bertrand, 1822-1900).
Galois se résigne alors à entrer à l'école Normale (appelée alors École préparatoire et d'un niveau bien inférieur), laquelle est annexée à Louis le grand.
Il passe et reçoit son diplôme le 29 décembre 1829. Son superviseur en mathématique déclare:
" Cet élève est quelquefois obscure dans la façon d'exprimer ses idées, mais il est intelligent et présente un remarquable esprit de synthèse." Son superviseur de littérature rapporte au contraire:" C'est le seul étudiant qui me répond à peine. Il ne connaît absolument rien. Je crois qu'il possède d'extraordinaires capacités mathématiques. Ça m'étonne grandement, car après examen, je crois que c'est un étudiant vraiment peu intelligent."
4. Ses travaux sont négligés.
Dans un premier temps, un article envoyé à l'Académie des Sciences et confié à Cauchy (1789-1857) est perdu (celui-ci avait déjà perdu un mémoire d'Abel, 1802-1829) .
Galois envoie ensuite à Cauchy (1789-1857) davantage de travail sur la théorie des équations, mais il apprend alors par le Bulletin de Férussac qu'un article posthume d'Abel (1802-1829) recoupe grandement ses idées.
Galois soumet alors un nouvel article en 1830 sur la condition pour qu'une équation soit résolue par des radicaux. L'article est envoyé à Fourier (1768-1830, le secrétaire de l'Académie), pour participer au Grand Prix des mathématiques. Fourier meurt en avril 1830 et l'article de Galois n'est retrouvé que partiellement. Il ne participe donc pas au Grand Prix des mathématiques.
Galois supposa que son mémoire avait été égaré délibérément par une Académie politiquement partisane, soupçon qui fut confirmé l'année suivante.
Galois, après avoir lu les travaux d'Abel (1802-1829) et de Jacobi (1804-1851), travaille sur les équations elliptiques. Avec le support de Jacques Charles-François Sturm (1803-1855), il publie trois articles dans le Bulletin de Férussac en avril 1830.
Toutefois, il apprend en juin que l'Académie rejète son manuscrit arguant que "le raisonnement n'en était pas assez clair, ni assez développé pour lui permettre d'en juger la rigueur."
Le prix de l'Académie est décerné conjointement à Abel (mort l'année précédente à 27 ans) et à Jacobi.
Les dernières publications de Galois sont un article dans les Annales De Gergonne (décembre 1830) et une lettre sur l'enseignement des sciences dans la Gazette des écoles (2 janvier 1831).
5. Galois et la politique
En juillet 1830 naît une autre révolution et Charles X (1757-1836) quitte la France. Des émeutes se multiplient bdans les rues de Paris et le directeur de l'école Normale, M. Guigniault enferme Galois et les autres étudiants à l'intérieur de l'école pour les empêcher de prendre part aux événements, (contrairement aux polytechniciens qui, ayant fait le mur, resteront dans l'histoire).
En Octobre 1830,, à la rentrée des classes, il est républicain, intrépide et actif. Il adhère à la société des Amis du Peuple (dont fait partie l'Artillerie de la Garde Nationale, une branche républicaine de la milice), le 10 novembre et critique l'opportunisme du directeur de l'école Normale et du philosophe Victor Cousin (1792-1867), (fidèles de Charles X puis de Louis-Philippe !!).
M. Guigniault écrit un article condamnant le comportement des étudiants. Galois réplique alors dans le Gazette des écoles, il attaque ouvertement M. Guignier et lui reproche de les avoir enfermés dans l'école, lui et ses camarades. C'est à cause de cette lettre que Galois est expulsé de l'école Normale au début de janvier 1831.
En janvier 1831 Galois tente un retour aux mathématiques. Il organise des classes de mathématiques avancées. Quelques 40 étudiants se présentent à la première rencontre. Ce nombre chute toutefois très rapidement.
Galois est ensuite invité par Poisson (1781-1840) à soumettre une autre version de son mémoire sur les équations algébriques. Le 17 janvier 1831, L'Académie charge Denis Poisson etSylvestre Lacroix (1765-1843) d'examiner une nouvelle version du manuscrit de Galois, perdu 1 an auparavant. Ce dernier demande expressément aux académiciens que son manuscrit soit étudié le 16 mars au plus tard.
6. Galois ..la prison..Raspail, Nerval.
Cette même année, 19 officiers de l'Artillerie de la Garde Nationale sont arrêtés pour conspiration contre le gouvernement. Ils sont acquittés le 9 mai 1931.
Le 9 mai 1831, 200 républicains organisent alors un dîner pour célébrer cet acquittement. Durant ce dîner, dans les salons du restaurant Aux Vendanges de Bourgogne, au cours d'un banquet auquel participe Alexandre Dumas (1802-1870) et François-Vincent Raspail (1794-1878), Galois porte un toast non prévu "A Louis-Philippe ! ", lève son verre d'une main et tient un couteau de l'autre. Ceux qui n'ont pas vu le couteau protestent et dans l'effervescence qui suit, Alexandre Dumas, pris de peur s'enfui. Galois est arrêté chez sa mère le lendemain et conduit à la prison de Sainte-Pélagie (près du jardin des plantes). Il est acquitté le 15 juin.
On possède le texte du procès et Galois s'y explique :
"..j'avais un couteau qui avait servi à découper pendant le temps du repas. Je levai ce couteau en disant A louis Philippe, s'il trahit. Ces derniers mots n'ont été entendus que de mes voisins, attendu les sifflets qu'avaient excités la première partie de la phrase ".
Le 4 juillet il apprend que son mémoire est encore rejeté. Poisson (1781-1840) écrit à cet effet :
" Son argumentation n'est ni suffisamment claire, ni suffisamment développée pour nous permettre de juger de sa rigueur".
Poisson encourage toutefois Galois à écrire un compte rendu plus complet de ses recherches.
Le 14 juillet, jour de la Bastille, il est arrêté de nouveau sur le Pont-Neuf. Il porte alors un uniforme de l'Artillerie de la Garde Nationale, ce qui est illégal. Galois est alors écroué de nouveau à la prison de Sainte-Pélagie et condamné à 6 mois pour récidive.
Pendant son séjour en prison, il poursuit ses recherches et fréquente Nerval et Raspail. C'est d'ailleurs ce dernier qui parviendra à le désarmer lors d'une tentative de suicide au poignard.
Raspail rapporte les paroles de Galois juste avant sa tentative de suicide :
" Sais-tu de quoi je manque, mon ami ? Je ne l'avoue qu'à toi : c'est que je puisse aimer et n'aimer qu'en esprit. J'ai perdu mon père et personne ne l'a jamais remplacé, m'entends-tu ?..."
En décembre, il envisage une nouvelle tentative de publication de ses travaux. Sa préface est tellement polémique que le texte complet n'en sera publié qu'en 1946 par rené Taton.
Rendu amer par la perte de ses manuscrits et par l'incompréhension des académiciens, il attaque violemment dans un texte célèbre :
"Si j'avais à adresser quelques choses aux grands du monde ou aux grands de la sciences.. Je jure que ce ne serait point des remerciements"
et pour conclure il nous adresse un message magnifique et toujours d'actualité :
"Je rêve d'un temps où l'égoïsmes ne régnera plus dans les sciences, où on s'associera pour étudier, au lieu d'envoyer aux académiciens des plis cachetés, on s'empressera de publier ses moindre observations pour peu qu'elles soient nouvelles, et on ajoutera " je ne sais pas le reste"
7. La mort d'un génie.
En mars 1832, une épidémie de choléra sévit à Paris. Galois est transféré le 16 mars à la pension de monsieur Faultrier, près de la place d'Italie.
Il est remis en liberté autour du 1er juin et c'est à cet endroit, en mai 1832 qu'il tombe amoureux de Stéphanie-Félice du Motel, la fille du médecin résident. Cette dernière semble toutefois peu intéressée par évariste et il se résout à rompre le 14 mai.
Evariste ignorait alors que stéphanie était déjà fiancé à un jeune homme bien né, Perscheux d'Herbinvil qui, ayant découvert l'infidélité de sa fiancé, décide de le provoquer en duel.Il savait la réputation de son adversaire et dans la soirée qui précéda le duel, il écrivit à ses amis afin de leur expliquer sa situation et dans l'urgence, résumer son œuvre scientifique.
Dans la matinée du 30 mai, Galois (contrairement à son adversaire, sans témoin) est défait en duel par Perscheux d'Herbinvil qui l'abandonne, grièvement blessé. Il est conduit (par un paysan ou par son frère ?!!) à l'hôpital Cochin où il meurt de péritonite le 31 mai 1832 dans les bras de son jeune frère Alfred :
"Ne pleure pas, j'ai besoin de tout mon courage pour mourir à 20 ans."
Il est enterré dans la fosse commune du cimetière de Montparnasse.
La nuit précédent son duel, Galois essaya de coucher sur le papier toutes ses idées mathématiques. D'autres notes apparaissent toutefois sur ce brouillon ; ainsi, dans le quart inférieur, on peut déchiffrer "Une femme", avec le mot "femme" raturé. (# p263).
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Dans la nuit du 29 Mai 1832, Évariste Galois sait sa mort proche. Il écrit une lettre-testament adressée à Auguste Chevalier, dans laquelle il charge son ami de faire connaître aux arithméticiens de l'époque ses différentes découvertes.
Paris, le 29 mai 1832
Mon cher Ami,
J'ai fait en analyse plusieurs choses nouvelles.
Les unes concernent la théorie des Équations ; les autres les fonctions Intégrales.
Dans la théorie des équations, j'ai cherché les conditions pour la résolution des équations par des radicaux; cela m'a donné l'occasion d'approfondir cette théorie et de décrire toutes les transformations possibles d'une équation même si elle n'est pas soluble par les radicaux. Tout cela sera trouvé ici dans trois mémoires....
Mes principales méditations depuis quelques temps étaient dirigées sur l'application à l'analyse transcendante de la théorie de l'ambiguïté (les surfaces de Riemann, à plusieurs feuillets, seraient dans cette théorie).....Mais je n'ai pas le temps et mes idées ne sont pas encore bien développées sur ce terrain qui est immense......
Je me suis souvent hasardé dans ma vie à avancer des propositions dont je n' étais pas sûr. Mais tout ce que j'ai écrit là est depuis bientôt un an dans ma tête, et il ne serait pas dans mon intérêt de m'exposer au reproche que j'annonce des théorèmes dont je n'ai pas une preuve complète.
Tu prieras publiquement Jacobi ou à Gauss de donner leur avis, non sur la vérité, mais sur l'importance de ces théorèmes.
Après cela il se trouvera , j'espère, des gens qui trouveront leur profit à déchiffrer tout ce gâchis.
Je t'embrasse avec effusion.
E. Galois. Le 29 Mai 1832
- Le testament de Galois (196ko et 220ko )
Des récits de sa mort sont publiés dans quelques journaux. Les détails donnés sont contradictoires. Ses amis préparent un soulèvement, reporté à l'annonce du décès du général Lamarque ; il a lieu le 5 juin et aboutit au massacre du cloître Saint-Merri.
Victor Hugo en fera une des parties des Misérables, l'épopée rue Saint-Denis.
Par la suite, le frère de Galois et son ami Chevalier copient les papiers mathématiques Évariste et les envoient à Gauss (1777-1855), Jacobi et d'autres. Selon le frère de Galois, c'était le rêve de ce dernier que ces grands mathématiciens puissent commenter ses travaux. Rien n'existe sur le fait qu'ils ont effectivement pris connaissance des travaux de Galois. On sait toutefois que les papiers sont passés entre les mains de Liouville (1809-1882), lequel en septembre 1843 annonçait à l'Académie qu'il avait trouvé des papiers de Galois. C'est un peu plus tard, en 1846, que le mathématicien français J. Liouville (1809-1882) publiera ces papiers.
Son apport mathématiques.
Galois publia en 1829, son premier article concernant les fractions continues. Peu après, il rédigea un second article concernant l'impossibilité de résoudre par radicaux les équations générales de degré supérieur ou égal à cinq. Cet article contribua à amorcer la théorie de Galois, une branche des mathématiques s'intéressant aux solutions des équations générales. C'est d'ailleurs en voulant résoudre des équations générales qu'il eut l'idée géniale d'introduire des "imaginaires". Ces derniers ouvrirent la voie à la notion de groupe. En effet, il introduisit le terme "groupe" en considérant le groupe de permutations des racines d'une équation. Il fallu toutefois attendre 1870 pour que les mathématiciens assimilent les idées de Galois.
La théorie de Galois contribua également à résoudre des problèmes de longue date comme l'équation générale d'un cercle.
Il introduisit le mot "groupe" en considérant le groupe de permutations des racines d'une équation. C'est la théorie des groupes qui rendit possible la synthèse de la géométrie et de l'algèbre.
En 1830 il parvint à résoudre l'équation f(x) = 0 (mod p), avec f(x) polynôme irréductible, en introduisant le symbole j pour une des solutions de l'équation; cela devait conduire aux corps de Galois GF(p).