La réponse est oui : \[ 0,999\ldots = 1. \] Mais cette égalité est l’une des plus déstabilisantes des mathématiques élémentaires. Elle oblige à clarifier ce que signifie vraiment une écriture décimale infinie.
\(0,999\ldots\) ne signifie pas “beaucoup de 9, puis on s’arrête”. Il signifie une infinité de \(9\). Il n’y a donc pas de dernier chiffre \(9\), ni de petit espace restant avant \(1\).
1. Pourquoi cette égalité paraît-elle étrange ?
Quand on écrit \(0,9\), puis \(0,99\), puis \(0,999\), on obtient une suite de nombres de plus en plus proches de \(1\), mais toujours strictement inférieurs à \(1\) :
\[ 0,9 < 0,99 < 0,999 < 0,9999 < 1. \]Cela peut donner l’impression que \(0,999\ldots\) reste “juste avant” \(1\). Pourtant, la notation avec les points de suspension ne désigne pas un nombre fini de \(9\), mais la limite de cette suite infinie.
En écriture décimale française, on écrit souvent \(0,999\ldots\), avec une virgule. En notation anglo-saxonne, on écrit \(0.999\ldots\), avec un point. Dans les deux cas, il s’agit du même nombre.
La vraie question est donc :
\[ \lim_{n\to+\infty} 0,\underbrace{99\ldots 9}_{n \text{ chiffres}} = \ ? \]2. Plusieurs preuves de l’égalité \(0,999\ldots = 1\)
Les premières preuves sont très courtes et donnent une bonne intuition. Les dernières précisent davantage le sens mathématique de l’écriture décimale infinie.
Preuve 1 — À partir de \(\dfrac{1}{3}\)
On sait que :
\[ \frac13 = 0,333\ldots \]En multipliant par \(3\), on obtient :
\[ 3\times \frac13 = 3\times 0,333\ldots \]Donc :
\[ 1 = 0,999\ldots \]Cette preuve est très convaincante, mais elle suppose déjà que l’on accepte les règles de calcul sur les décimaux infinis. Elle est donc excellente pour l’intuition, mais elle n’est pas la définition la plus rigoureuse.
Preuve 2 — L’argument algébrique classique
Posons :
\[ a = 0,999\ldots \]Alors :
\[ 10a = 9,999\ldots \]On soustrait les deux égalités :
\[ 10a-a = 9,999\ldots - 0,999\ldots \]D’où :
\[ 9a = 9. \]Ainsi :
\[ a = 1. \]Comme \(a=0,999\ldots\), on obtient :
\[ 0,999\ldots = 1. \]La soustraction \[ 9,999\ldots - 0,999\ldots \] est légitime dans les nombres réels, mais elle doit être comprise comme une opération sur des limites, et non comme une simple soustraction chiffre par chiffre sur une écriture infinie mal définie.
Preuve 3 — Aucun nombre ne se trouve entre \(0,999\ldots\) et \(1\)
Dans l’ensemble des nombres réels, entre deux nombres distincts, on peut toujours trouver un troisième nombre. Par exemple, entre deux réels \(x\) et \(y\), avec \(x \[ \frac{x+y}{2}. \]
Si \(0,999\ldots\) était strictement inférieur à \(1\), alors il existerait un réel situé entre les deux.
Or l’écart supposé serait :
\[ 1 - 0,999\ldots. \]Mais cet écart est plus petit que :
\[ 0,1,\quad 0,01,\quad 0,001,\quad 0,0001,\quad \ldots \]Il est donc plus petit que \(10^{-n}\) pour tout entier \(n\). Dans les réels, un nombre positif ne peut pas être plus petit que tous les \(10^{-n}\). L’écart est donc nul.
\[ 1 - 0,999\ldots = 0. \]Ainsi :
\[ 0,999\ldots = 1. \]Preuve 4 — Avec les suites
Pour donner un sens rigoureux à \(0,999\ldots\), on considère la suite :
\[ u_n = 0,\underbrace{99\ldots 9}_{n \text{ chiffres}}. \]Par exemple :
\[ u_1=0,9,\qquad u_2=0,99,\qquad u_3=0,999. \]On remarque que :
\[ u_n = 1 - \frac{1}{10^n}. \]En effet :
\[ 0,9 = 1-\frac{1}{10},\qquad 0,99 = 1-\frac{1}{100},\qquad 0,999 = 1-\frac{1}{1000}. \]Donc :
\[ \lim_{n\to+\infty} u_n = \lim_{n\to+\infty}\left(1-\frac{1}{10^n}\right) = 1. \]Par définition :
\[ 0,999\ldots = \lim_{n\to+\infty} u_n. \]Donc :
\[ \boxed{0,999\ldots = 1.} \]Preuve 5 — Avec une série géométrique
On peut écrire :
\[ 0,999\ldots = 0,9+0,09+0,009+0,0009+\cdots \]C’est une série géométrique de premier terme \(0,9\) et de raison \(\dfrac{1}{10}\).
\[ 0,999\ldots = \frac{9}{10} + \frac{9}{10^2} + \frac{9}{10^3} + \cdots \]La somme d’une série géométrique de premier terme \(a\) et de raison \(q\), avec \(|q|<1\), vaut :
\[ a+aq+aq^2+\cdots = \frac{a}{1-q}. \]Ici :
\[ a=\frac{9}{10} \quad\text{et}\quad q=\frac{1}{10}. \]Donc :
\[ 0,999\ldots = \frac{\frac{9}{10}}{1-\frac{1}{10}} = \frac{\frac{9}{10}}{\frac{9}{10}} = 1. \]3. Que signifie vraiment une écriture décimale infinie ?
Une écriture décimale infinie n’est pas une opération que l’on effectue “jusqu’au bout”. Il n’y a pas de dernier chiffre. On la définit comme une limite.
L’écriture \[ 0,999\ldots \] désigne la limite de la suite \[ 0,9,\quad 0,99,\quad 0,999,\quad 0,9999,\quad \ldots \] lorsque le nombre de chiffres \(9\) tend vers l’infini.
Or le \(n\)-ième nombre de cette suite vaut :
\[ 1-\frac{1}{10^n}. \]Comme \(\dfrac{1}{10^n}\) tend vers \(0\), la suite tend vers \(1\).
\[ 0,999\ldots = \lim_{n\to+\infty}\left(1-\frac{1}{10^n}\right) = 1. \]
Un nombre peut-il avoir deux écritures décimales ?
Oui. C’est précisément ce qui se passe ici :
\[ 1 = 1,000\ldots = 0,999\ldots \]Plus généralement, tout nombre décimal fini possède deux écritures décimales :
\[ 0,5 = 0,5000\ldots = 0,4999\ldots \] \[ 2,37 = 2,37000\ldots = 2,36999\ldots \]L’écriture décimale d’un réel est presque toujours unique, sauf pour les décimaux finis, qui possèdent aussi une écriture infinie terminée par une infinité de \(9\).
4. Compléments mathématiques
Complément 1 — Une preuve avec les fractions décimales
Le nombre ayant \(n\) chiffres \(9\) après la virgule est :
\[ u_n = \frac{9}{10}+\frac{9}{10^2}+\cdots+\frac{9}{10^n}. \]En factorisant :
\[ u_n = 9\left(\frac{1}{10}+\frac{1}{10^2}+\cdots+\frac{1}{10^n}\right). \]La somme géométrique donne :
\[ \frac{1}{10}+\frac{1}{10^2}+\cdots+\frac{1}{10^n} = \frac{\frac{1}{10}\left(1-\left(\frac{1}{10}\right)^n\right)} {1-\frac{1}{10}}. \]Donc :
\[ u_n = 1-\frac{1}{10^n}. \]En passant à la limite :
\[ \lim_{n\to+\infty}u_n=1. \]Complément 2 — Version avec un epsilon
Pour montrer rigoureusement que \(0,999\ldots = 1\), on peut montrer que l’écart entre \(1\) et \(0,\underbrace{99\ldots9}_{n}\) devient aussi petit que l’on veut.
Soit \(\varepsilon>0\). On cherche un entier \(n\) tel que :
\[ \frac{1}{10^n}<\varepsilon. \]Un tel entier existe, car \(10^n\) devient arbitrairement grand. Alors :
\[ \left|1-\left(1-\frac{1}{10^n}\right)\right| = \frac{1}{10^n} < \varepsilon. \]Cela signifie exactement que la suite \(1-\dfrac{1}{10^n}\) tend vers \(1\).
Complément 3 — En base \(b\)
Le phénomène ne dépend pas de la base \(10\). Dans une base \(b\geq 2\), le chiffre maximal est \(b-1\).
On a alors :
\[ 0,\overline{(b-1)}_b = 1. \]Par exemple, en base \(2\), le chiffre maximal est \(1\). On obtient :
\[ 0,111\ldots_2 = 1. \]En effet :
\[ 0,111\ldots_2 = \frac12+\frac14+\frac18+\cdots = 1. \]5. Quelques remarques historiques
L’égalité \(0,999\ldots=1\) est moderne dans sa formulation, car elle dépend de l’écriture décimale positionnelle et de la notion de limite.
- Numération positionnelle. L’idée d’écrire un nombre à l’aide de positions successives est ancienne, mais son usage systématique avec des fractions décimales s’est développé progressivement.
- Fractions décimales. Simon Stevin popularise au XVIe siècle l’usage des fractions décimales dans De Thiende ou La Disme.
- Analyse et limites. L’égalité \(0,999\ldots=1\) devient vraiment claire lorsque les décimaux infinis sont compris comme des limites de suites.
- Nombres réels. Au XIXe siècle, les constructions rigoureuses des réels permettent de formaliser précisément les développements décimaux infinis.
Cette égalité montre qu’une même quantité peut avoir deux écritures différentes. Ce n’est pas une contradiction : c’est une propriété de notre système d’écriture des nombres.
6. Idées fausses fréquentes
Non : il ne manque rien. L’écart entre \(1\) et \(0,999\ldots\), s’il était positif, serait plus petit que \(10^{-n}\) pour tout entier \(n\). Dans les nombres réels, un tel écart ne peut être que nul.
Non : dans \(0,999\ldots\), il n’y a pas de dernier chiffre. Les points de suspension signifient que les chiffres \(9\) continuent indéfiniment.
Cette phrase décrit des nombres comme \(0,999\) ou \(0,999999\), qui ont un nombre fini de chiffres \(9\). Mais \(0,999\ldots\), avec une infinité de chiffres \(9\), est exactement égal à \(1\).
Pas toujours. Un même réel peut avoir deux écritures décimales. Par exemple : \[ 1 = 1,000\ldots = 0,999\ldots \] De même : \[ 0,5 = 0,5000\ldots = 0,4999\ldots \]
7. Ressources et références
L’égalité \(0,999\ldots = 1\) est liée à l’histoire de l’écriture décimale, des fractions décimales et de la notion moderne de limite.
- Simon Stevin, La Disme, 1585 : un texte important dans la diffusion des fractions décimales.
- Florian Cajori, A History of Mathematical Notations : une référence classique sur l’histoire des notations mathématiques.
- Analyse réelle : la justification rigoureuse repose sur les suites, les limites et les séries géométriques.
- Développements décimaux : tout nombre décimal fini possède deux écritures, l’une terminée par des zéros, l’autre par une infinité de \(9\).
L’égalité \(0,999\ldots = 1\) n’est pas un paradoxe : elle rappelle simplement qu’une écriture décimale infinie doit être comprise comme une limite. Une fois cette définition acceptée, l’égalité devient naturelle.