Partie 1 — Automatismes

La partie Automatismes dure 20 minutes, sans calculatrice, et vaut 6 points. Elle comporte des questions courtes, principalement sans justification.

• Déterminer la médiane de la série : \(12\), \(9\), \(7\), \(23\), \(9\), \(25\), \(7\).
• Donner la notation scientifique de \(0{,}000457\).
• Calculer l’aire, en \(\text{cm}^2\), d’un triangle rectangle de côtés \(6\) cm, \(8\) cm et \(10\) cm.
• Calculer une probabilité simple avec une boîte contenant 6 beignets à l’abricot, 5 à la pomme et 4 à la framboise.
• Calculer le prix d’un article de 800 € après une baisse de 10 %.
• Développer et réduire l’expression \(B=4y(3y-1)\).
• Compléter une égalité de conversion : \(3{,}57\) L en \(\text{cm}^3\).
• Calculer l’image de 4 par la fonction affine \(f\) définie par \(f(x)=3x-5\).
• Déterminer la nature d’un quadrilatère à partir du codage de ses diagonales.

Exercice 1 — Calcul littéral, périmètres, Scratch et tableur

L’exercice s’appuie sur un nombre \(x\) supérieur ou égal à 5, un rectangle \(ABCD\) et un triangle isocèle \(IJK\).

• Le rectangle \(ABCD\) a pour dimensions \(AB=3x+1\) et \(AD=x-2\).
• Le triangle isocèle \(IJK\) possède un périmètre exprimé sous la forme \(6x+9\).
• Pour \(x=10\), calcul de la longueur \(AB\).
• Justification du fait que le périmètre du rectangle \(ABCD\) vaut 78 pour \(x=10\).
• Démonstration de l’expression du périmètre du rectangle : \(8x-2\).
• Analyse d’un programme Scratch permettant de comparer les deux périmètres.
• Utilisation d’un tableur pour tester plusieurs valeurs de \(x\).
• Choix de la formule à saisir dans une cellule du tableur pour calculer le périmètre du rectangle.
• Interprétation du tableau : expliquer pourquoi la solution est comprise entre 5 et 6.
• Résolution algébrique de l’équation \(8x-2=6x+9\) pour déterminer la valeur exacte de \(x\).

Exercice 2 — Géométrie, angles et alignement

L’objectif de l’exercice est de déterminer si les points \(A\), \(B\) et \(G\) sont alignés.

• Le triangle \(BGF\) est rectangle en \(G\).
• Données : \(AC=5\) cm, \(BC=4\) cm, \(AB=3\) cm, \(BG=2\) cm et \(\widehat{BCF}=74^\circ\).
• Justifier que l’angle \(\widehat{CFB}\) mesure \(74^\circ\).
• Calculer la mesure de l’angle \(\widehat{CBF}\).
• Démontrer que le triangle \(ABC\) est rectangle.
• Dans le triangle rectangle \(BGF\), calculer la mesure de l’angle \(\widehat{FBG}\).
• Conclure sur l’alignement éventuel des points \(A\), \(B\) et \(G\), en justifiant la démarche.

Exercice 3 — Polynésie, Jeux Olympiques, durées, volume et masse

L’exercice fait référence aux Jeux Olympiques d’été 2024 et à l’épreuve de surf organisée à Tahiti, en Polynésie française.

• Lecture de coordonnées géographiques sur une carte du monde.
• Les coordonnées approximatives de Los Angeles sont données : \((118^\circ\text{ O} ; 35^\circ\text{ N})\).
• Écriture des coordonnées géographiques approximatives de Tahiti à partir de la carte.
• Calcul d’une durée de vol à partir d’un trajet total de 22 h 10 min, comprenant un temps d’attente de 2 h 20 min à Los Angeles.
• Étude d’une médaille olympique modélisée par un cylindre.
• Hauteur de la médaille : \(0{,}92\) cm ; diamètre : \(8{,}5\) cm.
• Utilisation de la formule du volume d’un cylindre : \(V=\pi \times R^2 \times h\).
• Vérification que le volume de la médaille, arrondi au dixième, est d’environ \(52{,}2\ \text{cm}^3\).
• Calcul de la masse d’argent contenue dans la médaille, avec une masse volumique de \(10{,}5\ \text{g/cm}^3\), puis arrondi à l’unité.