Partie 1 — Automatismes

La partie Automatismes dure 20 minutes, sans calculatrice, et vaut 6 points. Elle comporte des questions courtes, principalement sans justification.

• Médiane d'une série de températures : \(0^\circ C\), \(-1^\circ C\), \(3^\circ C\), \(7^\circ C\), \(1^\circ C\).
• Image d'un motif par une translation sur un pavage.
• Probabilité simple avec une boîte contenant 3 boules rouges et 5 boules vertes.
• Utilisation du cosinus dans un triangle rectangle \(JLK\).
• Notation scientifique de \(311\,200\,000\).
• Calcul d'une distance parcourue en vélo à partir d'une durée de 2 h 30 min et d'une vitesse moyenne de 40 km/h.
• Factorisation de l'expression \(5x+5\).
• Choix du calcul correspondant à une baisse de 10 % appliquée à un article de 80 €.
• Lecture graphique de la hauteur d'eau dans le port de Quiberon : durée pendant laquelle la hauteur d'eau est supérieure à 4 m.

Exercice 1 — Géométrie plane, Pythagore et parallélisme

L'exercice s'appuie sur une figure composée de deux triangles rectangles.

• Les points \(A\), \(B\) et \(M\) sont alignés.
• Les points \(A\), \(C\) et \(N\) sont alignés.
• Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(B\).
• Le triangle \(AMN\) est rectangle en \(M\).
• Données : \(AB=6,4\) cm, \(BM=3,2\) cm et \(AC=8\) cm.
• Construction du triangle \(ABC\) en vraie grandeur.
• Démonstration de la longueur \(BC=4,8\) cm à l'aide du théorème de Pythagore.
• Justification du parallélisme des droites \((BC)\) et \((MN)\).
• Calcul de \(MN=7,2\) cm et \(AN=12\) cm.
• Comparaison argumentée du périmètre du triangle \(ABC\) et du périmètre du quadrilatère \(BMNC\).

Exercice 2 — Volumes, conversions et prix

L'exercice comporte deux parties indépendantes autour de bonbons en forme de gélules et de formats d'achat.

Partie A — Volume d'un bonbon en forme de gélule

• Un bonbon est constitué d'un cylindre et de deux demi-boules identiques.
• Longueur totale du bonbon : 15 mm.
• Rayon des demi-boules : \(R=2,5\) mm.
• Démonstration que la hauteur \(h\) du cylindre est égale à 10 mm.
• Calcul du volume de la partie cylindrique du bonbon.
• Utilisation de la formule du volume d'un cylindre : \(V=\pi \times R^2 \times h\).
• Utilisation de la formule du volume d'une boule : \(V=\dfrac{4}{3}\times \pi \times R^3\).
• Vérification de l'affirmation : le volume total d'un bonbon est-il compris entre 260 et 262 mm³ ?
• Conversion et comparaison : avec 83 L de mélange, la confiserie peut-elle produire plus de 300 000 bonbons par jour ?

Partie B — Comparaison de prix

• Format A : sachet de 500 g de bonbons à 7,90 €.
• Format B : sachet de 250 g de bonbons à 4,30 €.
• Offre promotionnelle sur le format B : pour 3 sachets achetés, le quatrième est à moitié prix.
• Objectif : acheter 1 kg de bonbons au prix le plus bas.
• Comparaison argumentée des deux formats d'achat.

Exercice 3 — Programmes de calcul, Scratch et équations

L'exercice compare deux programmes de calcul et fait intervenir Scratch.

• Programme A : choisir un nombre, ajouter 6 d'un côté, soustraire 4 de l'autre, puis multiplier les deux nombres obtenus.
• Programme B : choisir un nombre, calculer le carré de ce nombre, puis soustraire 9.
• Vérification du résultat du programme A lorsque le nombre de départ est 1.
• Calcul du résultat du programme B lorsque le nombre de départ est 10.
• Recherche de tous les nombres de départ qui permettent d'obtenir 16 avec le programme B.
• Complétion d'un programme Scratch pour afficher le résultat du programme A.
• Expression littérale du programme A : \(x^2+2x-24\).
• Écriture puis résolution d'une équation permettant de déterminer le nombre de départ pour lequel les deux programmes donnent le même résultat.