Le problème de Navier–Stokes est l’un des sept problèmes du millénaire annoncés en 2000 par le Clay Mathematics Institute. Il relie une situation physique très concrète — le mouvement des fluides — à une question mathématique profonde : une équation peut-elle faire apparaître une irrégularité infinie à partir d’un état initial parfaitement lisse ?
1. L’idée générale : prédire le mouvement d’un fluide
Un fluide est une matière qui s’écoule : l’eau d’une rivière, l’air autour d’un avion, la fumée d’une bougie, le sang dans les vaisseaux, ou encore les masses d’air de l’atmosphère. Les équations de Navier–Stokes cherchent à décrire comment ce fluide se déplace au cours du temps.
À chaque point de l’espace et à chaque instant, on associe un vecteur vitesse. Ce vecteur indique la direction et la vitesse du fluide. L’ensemble de ces vecteurs forme un champ de vitesse.
Le problème mathématique vient du fait que le fluide transporte sa propre vitesse. Autrement dit, le mouvement du fluide modifie lui-même les conditions de son évolution. Cette boucle est à l’origine de la richesse du modèle, mais aussi de sa difficulté.
Si l’on part d’un fluide parfaitement régulier, les équations de Navier–Stokes garantissent-elles que le mouvement restera toujours régulier ? Ou bien une singularité peut-elle apparaître en temps fini ?
Niveau 2 — Description eulérienne du fluide
Il existe deux manières classiques de décrire un fluide. Dans une description lagrangienne, on suit les particules du fluide. Dans une description eulérienne, on observe ce qui se passe en chaque point fixe de l’espace.
Navier–Stokes s’écrit généralement sous forme eulérienne. On note :
\[ u(t,x) \]le champ de vitesse au temps \(t\) et au point \(x\). En dimension 3 :
\[ u(t,x)= \begin{pmatrix} u_1(t,x)\\ u_2(t,x)\\ u_3(t,x) \end{pmatrix}. \]La difficulté vient notamment du fait que la dérivée temporelle classique ne suffit pas : le fluide se déplace et transporte avec lui les variations de vitesse. C’est ce qui produit le terme non linéaire \((u\cdot\nabla)u\).
Niveau 2 — Pourquoi une équation simple peut devenir très difficile
Une équation linéaire est souvent plus facile à contrôler, car les effets s’ajoutent sans se renforcer mutuellement de façon trop complexe. Les équations de Navier–Stokes sont non linéaires : la vitesse \(u\) intervient dans le transport de \(u\) lui-même.
Cette non-linéarité permet aux grandes structures de l’écoulement de créer des structures plus petites, puis encore plus petites. C’est l’une des raisons pour lesquelles les phénomènes turbulents sont si difficiles à décrire rigoureusement.
2. Repères historiques : Navier, Stokes, Leray
Les équations portent les noms de Claude-Louis Navier (1785-1836) et George Gabriel Stokes (1819-1903). Navier introduit au XIXe siècle une première forme des équations pour les fluides visqueux. Stokes clarifie ensuite leur formulation et leur rôle dans la mécanique des fluides.
Au XXe siècle, Jean Leray joue un rôle majeur. En 1934, il introduit la notion de solution faible pour les équations de Navier–Stokes en dimension 3. Cette notion permet de démontrer l’existence de solutions dans un sens élargi, même lorsque l’on ne sait pas garantir une régularité parfaite.
Navier propose une équation pour les fluides visqueux en introduisant un terme lié aux frottements internes du fluide.
Stokes précise la formulation des équations et leur interprétation dans la mécanique des fluides newtoniens.
Leray construit des solutions faibles globales en temps pour Navier–Stokes en dimension 3.
Un résultat majeur de régularité partielle montre que les singularités éventuelles des solutions faibles sont fortement contraintes.
Navier–Stokes devient l’un des sept problèmes du millénaire.
OpenAI annonce une preuve proposée et une formalisation Lean, à distinguer d’une validation officielle par le Clay Mathematics Institute.
Niveau 2 — Pourquoi Leray change profondément le sujet
Une solution classique est assez régulière pour que chaque dérivée de l’équation soit interprétée point par point. Une solution faible est une solution au sens intégral : elle vérifie l’équation après intégration contre des fonctions test.
Cette idée permet de démontrer l’existence de solutions globales, mais elle crée une nouvelle question : ces solutions faibles sont-elles en réalité régulières ? Sont-elles uniques ? En dimension 3, ces deux questions restent au cœur du problème.
3. Les équations de Navier–Stokes incompressibles
Dans le cas d’un fluide incompressible, c’est-à-dire dont la densité reste constante, les équations de Navier–Stokes peuvent s’écrire :
\[ \frac{\partial u}{\partial t} +(u\cdot\nabla)u = -\nabla p+\nu\Delta u+f. \]Elles sont accompagnées de la condition d’incompressibilité :
\[ \nabla\cdot u=0. \]Les inconnues sont le champ de vitesse \(u(t,x)\) et la pression \(p(t,x)\). Le paramètre \(\nu>0\) représente la viscosité cinématique, et \(f(t,x)\) représente une force extérieure éventuelle.
| Symbole | Signification | Rôle dans le modèle |
|---|---|---|
| \(u(t,x)\) | Champ de vitesse | Indique la vitesse du fluide en chaque point et à chaque instant. |
| \(p(t,x)\) | Pression | Force interne qui rééquilibre l’écoulement. |
| \(\nu\) | Viscosité cinématique | Tend à lisser le mouvement et à dissiper l’énergie. |
| \(f(t,x)\) | Force extérieure | Modélise une action externe sur le fluide. |
| \(\nabla\cdot u=0\) | Incompressibilité | Exprime que le fluide ne se comprime pas localement. |
Niveau 2 — Développement de la condition d’incompressibilité
En dimension 3, si :
\[ u=(u_1,u_2,u_3), \]alors la condition \(\nabla\cdot u=0\) signifie :
\[ \frac{\partial u_1}{\partial x_1} + \frac{\partial u_2}{\partial x_2} + \frac{\partial u_3}{\partial x_3} =0. \]Elle exprime que le volume d’une petite portion de fluide reste constant : localement, il n’y a ni compression ni dilatation.
Niveau 2 — Le rôle caché de la pression
La pression n’est pas une force extérieure libre : elle s’ajuste pour que la contrainte d’incompressibilité soit respectée. Elle joue donc un rôle global et non local.
En pratique, on peut voir la pression comme la quantité qui corrige le mouvement afin que le champ de vitesse reste sans divergence. C’est une des raisons pour lesquelles l’analyse de Navier–Stokes est plus subtile qu’une simple équation de diffusion.
4. Lire l’équation terme par terme
Chaque terme de l’équation possède une signification physique précise. La difficulté vient de leur interaction.
| Terme | Nom | Interprétation |
|---|---|---|
| \(\frac{\partial u}{\partial t}\) | Variation locale | Mesure comment la vitesse change au cours du temps en un point donné. |
| \((u\cdot\nabla)u\) | Transport non linéaire | Le fluide transporte sa propre vitesse. |
| \(-\nabla p\) | Pression | Force due aux variations de pression. |
| \(\nu\Delta u\) | Viscosité | Diffuse et lisse les différences de vitesse. |
| \(f\) | Forçage | Force extérieure appliquée au fluide. |
Niveau 2 — Le terme non linéaire \((u\cdot\nabla)u\)
Le terme le plus délicat est :
\[ (u\cdot\nabla)u. \]Pour la composante \(i\), il s’écrit :
\[ ((u\cdot\nabla)u)_i = u_1\frac{\partial u_i}{\partial x_1} + u_2\frac{\partial u_i}{\partial x_2} + u_3\frac{\partial u_i}{\partial x_3}. \]Il est non linéaire parce que \(u\) apparaît à la fois comme quantité transportée et comme vitesse de transport. C’est ce couplage qui rend possible la formation de structures complexes : tourbillons, cascades d’énergie, interactions entre échelles.
Niveau 2 — Le rôle régularisant du laplacien
Le terme :
\[ \nu\Delta u \]ressemble au terme de diffusion de l’équation de la chaleur. Il tend à lisser les irrégularités du champ de vitesse.
Le problème de Navier–Stokes peut être vu comme une lutte entre deux effets : la non-linéarité, qui peut concentrer l’énergie, et la viscosité, qui tend à la dissiper.
5. Le problème du millénaire : existence et régularité
Le problème du millénaire ne demande pas de résoudre numériquement un écoulement particulier. Il demande une réponse générale sur les solutions en dimension 3.
En dimension 3, si l’on part d’un champ de vitesse initial lisse, sans divergence et d’énergie finie, les équations de Navier–Stokes produisent-elles toujours une solution régulière pour tout temps ? Ou bien peut-on construire un exemple où une singularité apparaît en temps fini ?
Une résolution positive prouverait que la viscosité empêche toujours les explosions de régularité. Une résolution négative construirait un écoulement initialement régulier qui devient singulier en temps fini.
Niveau 2 — Donnée initiale et solution globale
On se donne une donnée initiale :
\[ u(0,x)=u_0(x), \]avec :
\[ \nabla\cdot u_0=0. \]On cherche une solution \(u(t,x)\) définie pour tout \(t\geq 0\). Une solution est dite globale si elle existe pour tout temps positif. Elle est dite régulière si elle possède les dérivées nécessaires pour interpréter l’équation au sens classique.
Niveau 2 — Pourquoi le cas 3D est différent du cas 2D
En dimension 2, les équations sont beaucoup mieux comprises. La vorticité obéit à une dynamique qui permet d’obtenir des contrôles globaux.
En dimension 3, un phénomène supplémentaire apparaît : l’étirement des tourbillons. Il peut amplifier la vorticité et rend les estimations beaucoup plus difficiles.
6. Régularité et singularités : que peut-il se passer ?
Une solution lisse est une solution suffisamment régulière pour que les dérivées de l’équation soient bien définies et que les grandeurs physiques restent contrôlées.
Une singularité apparaîtrait si une quantité mathématique devenait infinie en temps fini, ou si la solution cessait d’avoir la régularité nécessaire. Une singularité ne signifie donc pas simplement que le fluide devient turbulent : elle correspond à une rupture mathématique du modèle classique.
Un scénario souvent évoqué est celui d’un tourbillon qui s’étire, se concentre et amplifie la vorticité. La question est de savoir si la viscosité empêche toujours cette concentration d’aller jusqu’à l’infini.
Niveau 2 — Énergie cinétique et dissipation
Une quantité fondamentale est l’énergie cinétique :
\[ E(t)=\frac12\int_{\mathbb{R}^3}|u(t,x)|^2\,dx. \]Pour des solutions régulières, on obtient une relation d’énergie du type :
\[ \frac12\frac{d}{dt}\|u(t)\|_{L^2}^2 + \nu\|\nabla u(t)\|_{L^2}^2 = \int f\cdot u\,dx. \]Cette relation contrôle l’énergie globale et la dissipation visqueuse. Mais elle ne suffit pas, en dimension 3, à contrôler toutes les dérivées nécessaires pour garantir la régularité classique.
Niveau 2 — Vorticité et étirement des vortex
La vorticité est définie par :
\[ \omega=\nabla\times u. \]Elle mesure la rotation locale du fluide. En dimension 3, l’équation de la vorticité contient un terme de la forme :
\[ (\omega\cdot\nabla)u. \]Ce terme correspond à l’étirement des tourbillons. Il n’a pas d’équivalent aussi dangereux en dimension 2. Il peut amplifier la vorticité, ce qui rend la dimension 3 beaucoup plus difficile.
Niveau 2 — Blow-up en temps fini
On parle de blow-up lorsqu’une quantité devient infinie en un temps fini \(T\). Par exemple :
\[ \lim_{t\to T^-}\|\nabla u(t)\|_{L^\infty}=+\infty. \]Une telle situation empêcherait de prolonger la solution comme solution régulière au-delà du temps \(T\).
7. Turbulence : lien avec la physique
La turbulence est le comportement complexe et apparemment désordonné que l’on observe dans de nombreux écoulements : fumée, rivières, sillages d’avion, météo, océans. Les équations de Navier–Stokes sont censées décrire ces phénomènes, mais leur analyse mathématique reste extrêmement difficile.
Le problème du millénaire n’est pas exactement “expliquer toute la turbulence”. Il est plus fondamental : savoir si les équations restent mathématiquement bien définies et régulières, ou si elles peuvent elles-mêmes produire une rupture.
Niveau 2 — Nombre de Reynolds et cascade d’énergie
Un nombre sans dimension important est le nombre de Reynolds :
\[ Re=\frac{UL}{\nu}, \]où \(U\) est une vitesse caractéristique, \(L\) une longueur caractéristique et \(\nu\) la viscosité cinématique.
Lorsque \(Re\) est grand, les effets non linéaires dominent souvent les effets visqueux, et des comportements turbulents peuvent apparaître. L’énergie se transfère alors des grandes structures vers des structures de plus en plus petites avant d’être dissipée.
Visualiser les fluides
Les animations suivantes ne démontrent pas le problème du millénaire, mais elles permettent de voir concrètement les phénomènes que les équations cherchent à décrire : tourbillons, écoulements autour d’obstacles, cavités entraînées, structures fines.
8. Ce que l’on sait déjà
Le problème est très difficile, mais cela ne signifie pas que rien n’est connu. Au contraire, une théorie immense existe déjà.
| Résultat | Idée | Limite |
|---|---|---|
| Existence locale de solutions lisses | Pour des données initiales régulières, on sait construire une solution régulière pendant un petit temps. | Le problème est de prolonger cette solution pour tout temps. |
| Solutions faibles de Leray-Hopf | En dimension 3, des solutions globales existent au sens faible. | On ne sait pas en général si elles sont régulières et uniques. |
| Dimension 2 | La régularité globale est connue dans les cadres classiques. | Le cas dimension 3 reste beaucoup plus difficile. |
| Régularité partielle | Les éventuelles singularités sont fortement contraintes. | Cela ne prouve pas qu’elles sont impossibles. |
Niveau 2 — Solutions faibles de Leray-Hopf
Les solutions faibles de Leray-Hopf vérifient l’équation dans un sens intégral et satisfont une inégalité d’énergie. Elles existent globalement en dimension 3.
Mais elles ne sont pas nécessairement assez régulières pour justifier tous les calculs classiques. L’unicité de ces solutions est également un point difficile.
Niveau 2 — Régularité partielle
Certains résultats montrent que si des singularités existent, elles ne peuvent pas être arbitraires. Elles doivent être situées dans un ensemble très petit au sens de certaines mesures géométriques adaptées aux équations.
Ces résultats sont fondamentaux : ils ne résolvent pas le problème du millénaire, mais ils indiquent que les singularités éventuelles seraient extrêmement contraintes.
Niveau 2 — Critères conditionnels de régularité
De nombreux théorèmes ont la forme suivante : si une certaine quantité reste contrôlée, alors la solution reste régulière. Ces résultats ne résolvent pas le problème, mais ils identifient précisément ce qui devrait exploser si une singularité apparaissait.
On cherche ainsi à contrôler certaines normes de la vitesse, de son gradient ou de la vorticité. Le problème est qu’en dimension 3, les estimations disponibles ne suffisent pas encore à fermer complètement l’argument.
9. Intelligence artificielle, Lean et annonce de 2026
En septembre 2026, OpenAI a annoncé une preuve proposée concernant le problème de Navier–Stokes, accompagnée d’une formalisation en Lean. Une telle annonce est majeure, mais elle ne doit pas être confondue avec une validation officielle immédiate.
Une preuve proposée, même spectaculaire et même formalisée en assistant de preuve, doit encore être comprise, relue, discutée, publiée et acceptée par les spécialistes avant de modifier le statut officiel d’un problème du millénaire.
Niveau 2 — Que change une formalisation Lean ?
Lean est un assistant de preuve. Une formalisation Lean traduit une démonstration dans un langage logique précis et permet à l’ordinateur de vérifier chaque étape formelle.
C’est extrêmement puissant pour réduire les erreurs locales dans des arguments très complexes. Mais cela ne remplace pas toutes les étapes du jugement mathématique : il faut vérifier les définitions, les hypothèses, la portée exacte du résultat et son adéquation avec l’énoncé officiel.
Niveau 2 — Validation officielle par le Clay
Le Clay Mathematics Institute ne reconnaît pas une solution simplement parce qu’elle est annoncée. Ses règles demandent notamment une publication dans un support qualifiant, un délai d’au moins deux ans après publication, et une acceptation générale par la communauté mathématique.
Cette règle protège le sérieux du processus : un problème du millénaire ne se clôt pas par communiqué, mais par vérification collective.
Niveau 2 — Pourquoi cette annonce est historiquement importante
Même si le statut officiel dépend d’une validation longue, l’annonce marque un moment important dans l’histoire des mathématiques assistées par ordinateur. Elle met en jeu trois niveaux différents : la découverte d’une stratégie, l’écriture d’une preuve mathématique, puis sa formalisation dans un langage vérifiable par machine.
Cela ne supprime pas le rôle des mathématiciens. Au contraire, cela déplace une partie de leur travail vers la compréhension, l’audit, la vérification des hypothèses, et l’interprétation du résultat dans le paysage existant.
10. Documents, vidéos et animations
Les équations de Navier–Stokes sont difficiles à comprendre uniquement par les formules. Les ressources ci-dessous permettent de voir les écoulements, d’écouter des spécialistes et de revenir aux documents officiels du problème du millénaire.
Animations et visualisations
Vidéos de référence
Les vidéos suivantes sont sélectionnées pour leur sérieux institutionnel ou leur intérêt pédagogique.
Documents officiels
Documents historiques et iconographiques
11. Petit glossaire
| Terme | Définition |
|---|---|
| Champ de vitesse | Fonction qui donne la vitesse du fluide en chaque point et à chaque instant. |
| Incompressible | Se dit d’un fluide dont la densité reste constante localement. |
| Viscosité | Effet interne qui tend à freiner les différences de vitesse et à lisser l’écoulement. |
| Vorticité | Rotation locale du fluide, définie par \(\omega=\nabla\times u\). |
| Solution faible | Solution interprétée dans un sens intégral, moins régulier qu’une solution classique. |
| Singularité | Perte de régularité, souvent associée à l’explosion d’une quantité mathématique. |
| Blow-up | Explosion d’une norme ou d’une grandeur en temps fini. |
| Lean | Assistant de preuve permettant de formaliser et vérifier des démonstrations. |
12. Sources et références
Les sources ci-dessous distinguent l’énoncé officiel du problème, les règles du prix, les références mathématiques classiques, les vidéos, les animations et les ressources liées à l’actualité 2026.
Sources institutionnelles
- Clay Mathematics Institute — Navier-Stokes Equation. Page officielle du problème du millénaire consacré aux équations de Navier–Stokes.
https://www.claymath.org/millennium/navier-stokes-equation/ - Charles L. Fefferman — Official Problem Description. Description officielle du problème de Navier–Stokes publiée par le Clay Mathematics Institute.
https://www.claymath.org/wp-content/uploads/2022/06/navierstokes.pdf - Clay Mathematics Institute — Rules for the Millennium Prize Problems. Règles officielles d’évaluation des solutions proposées aux problèmes du millénaire.
https://www.claymath.org/millennium-problems/rules/
Sources mathématiques et historiques
- Jean Leray — Sur le mouvement d’un liquide visqueux emplissant l’espace. Article fondateur de 1934 introduisant les solutions faibles pour Navier–Stokes.
- Caffarelli, Kohn, Nirenberg — Partial regularity. Résultat fondamental de régularité partielle pour les solutions faibles adaptées.
- Peter Constantin — On the Navier-Stokes equations. Conférence Clay sur les équations de Navier–Stokes.
https://www.claymath.org/lectures/on-the-navier-stokes-equations/ - Luis Caffarelli — Navier-Stokes existence and smoothness. Conférence Clay sur l’existence et la régularité.
https://www.claymath.org/lectures/navier-stokes-existence-and-smoothness/
Visualisations et documents iconographiques
- Wikimedia Commons — Kármán vortex street. Simulation CFD 2D autour d’un obstacle.
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:K%C3%A1rm%C3%A1n_vortex_street_Navier-Stokes_CFD_simulation_in_2D.gif - Wikimedia Commons — Lid-driven cavity. Simulation classique d’une cavité entraînée.
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Lid-driven_cavity_using_Navier-Stokes_CFD_simulation_in_2D.gif - Wikimedia Commons — Kármán vortex street off cylinder. Visualisation d’un écoulement incompressible autour d’un cylindre.
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Karman_Vortex_Street_Off_Cylinder_.ogv - Wikimedia Commons — Kolmogorov scaled scalar transport. Visualisation d’un transport scalaire turbulent.
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Kolmogorov_Scaled_Scalar_Transport.webm - Wikimedia Commons — George Gabriel Stokes. Portrait historique de Stokes.
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:SS-stokes.jpg
Vidéos
- Peter Constantin — On the Navier-Stokes equations. Vidéo Clay Mathematics Institute.
https://www.youtube.com/watch?v=vw77s3yRlu0 - Carmin.tv — Résolution des équations de Navier-Stokes : un problème du millénaire. Ressource vidéo en français.
https://www.carmin.tv/fr/video/resolution-des-equations-de-navier-stokes-un-probleme-du-millenaire - Université de Lorraine — Pourquoi la solution du problème de Navier-Stokes vaut-elle un million de dollars ? Conférence grand public en français.
https://ultv.univ-lorraine.fr/video/8981-pourquoi-la-solution-du-probleme-de-navier-stokes-vaut-elle-un-million-de-dollars/
Actualité IA et Lean
- OpenAI — On the Navier–Stokes Millennium Prize Problem. Annonce officielle d’OpenAI présentant une preuve proposée et une formalisation en Lean.
https://openai.com/index/navier-stokes-solution/ - OpenAI — NavierStokesAndEuler, GitHub. Dépôt public contenant les certificats Lean associés aux résultats annoncés.
https://github.com/openai/NavierStokesAndEuler - Reservoir — NavierStokesAndEuler. Page du projet Lean liée aux formalisations.
https://reservoir.lean-lang.org/@openai/NavierStokesAndEuler