1. La légende de l’échiquier de Sissa
Ravi par cette invention, le roi demanda à Sissa de choisir lui-même sa récompense. Le sage formula une demande qui sembla d’abord très modeste :
Placer 1 grain de riz sur la première case de l’échiquier, 2 grains sur la deuxième, 4 grains sur la troisième, puis continuer en doublant le nombre de grains à chaque nouvelle case, jusqu’à la 64e case.
Le roi accepta immédiatement. Pourtant, son conseiller comprit vite que cette récompense était impossible à payer : le doublement répété produit un nombre gigantesque.
Cette histoire est surtout une fable mathématique. Elle illustre une idée essentielle : une quantité qui double régulièrement finit par dépasser très vite notre intuition.
2. Modélisation par une suite géométrique
Numérotons les cases de l’échiquier de 1 à 64. Sur la case numéro \(k\), le nombre de grains est :
| Case | Nombre de grains | Valeur |
|---|---|---|
| 1 | \(2^0\) | 1 grain |
| 2 | \(2^1\) | 2 grains |
| 3 | \(2^2\) | 4 grains |
| 4 | \(2^3\) | 8 grains |
| 10 | \(2^9\) | 512 grains |
| 20 | \(2^{19}\) | 524 288 grains |
| 64 | \(2^{63}\) | 9 223 372 036 854 775 808 grains |
3. Calcul du nombre total de grains
Le nombre total de grains sur l’échiquier est la somme :
\[ S_{64}=1+2+2^2+2^3+\cdots+2^{63}. \]
Posons \[ S_n=1+2+2^2+\cdots+2^{n-1}. \] Alors \[ 2S_n=2+2^2+2^3+\cdots+2^n. \] Par soustraction, \[ \begin{aligned} 2S_n-S_n &= \left(2+2^2+\cdots+2^n\right)-\left(1+2+\cdots+2^{n-1}\right) \\ S_n &= 2^n-1. \end{aligned} \]
On a finalement :
4. Masse de riz et ordre de grandeur
Pour mesurer l’ampleur du résultat, on peut convertir ce nombre de grains en masse. La masse d’un grain de riz dépend de la variété, de l’humidité et de la transformation du grain. En prenant une valeur indicative de 0,04 g par grain, on obtient :
La récompense représenterait donc environ 738 milliards de tonnes de riz. Pour comparer avec une donnée actuelle, l’USDA Foreign Agricultural Service estime la production mondiale de riz usiné à 541,35 millions de tonnes pour la campagne 2025/2026, dernière campagne mondiale disponible au moment de cette actualisation.
5. Approche historique : chaturanga, échecs et légende
L’origine exacte du jeu d’échecs est discutée, mais son ancêtre le plus souvent cité est le chaturanga, un jeu indien ancien. Les formes anciennes du jeu se sont ensuite diffusées vers la Perse, le monde arabe, puis l’Europe médiévale, où les règles ont progressivement évolué vers les échecs modernes.
Développement probable du chaturanga en Inde. Les pièces ont déjà des rôles différenciés et la victoire dépend du sort du roi.
Diffusion vers la Perse : le jeu devient le shatranj. Plusieurs termes du vocabulaire des échecs circulent alors avec le jeu.
Arrivée en Europe par les échanges culturels et commerciaux. Les règles continuent d’évoluer.
Transformation majeure des règles en Europe : la dame et le fou deviennent beaucoup plus puissants, ce qui accélère le jeu.
6. Compléments mathématiques
Complément 1 : pourquoi la croissance exponentielle surprend-elle ?
Une croissance linéaire ajoute toujours la même quantité. Une croissance exponentielle, elle, multiplie régulièrement par le même nombre. Ici, on multiplie par 2 à chaque case.
Une approximation très utile est :
\[ 2^{10}=1024\approx 10^3. \]Donc, tous les 10 doublements, on multiplie environ par 1000. Après 60 doublements, on obtient déjà un ordre de grandeur proche de \(10^{18}\).
Complément 2 : combien de chiffres possède le total ?
Un entier positif \(N\) possède :
\[ \lfloor \log_{10}(N)\rfloor+1 \]chiffres en écriture décimale. Pour \(N=2^{64}-1\), on obtient un nombre à 20 chiffres.
Complément 3 : lien avec les suites géométriques
La suite \((u_k)\) définie par \(u_k=2^{k-1}\) vérifie :
\[ u_{k+1}=2u_k. \]Elle est donc géométrique de raison 2. La somme des 64 premiers termes est :
\[ \sum_{k=1}^{64}2^{k-1}=2^{64}-1. \]C’est exactement la formule utilisée dans les chapitres sur les suites.
Complément 4 : et si l’échiquier avait 100 cases ?
Avec 100 cases, le total serait :
\[ 1+2+2^2+\cdots+2^{99}=2^{100}-1. \]Or \(2^{100}\approx 1,27\times 10^{30}\). On quitte alors totalement les grandeurs ordinaires : c’est l’ordre de grandeur d’un nonillion en échelle courte.
7. Exercices rapides avec corrections
Exercice 1 : combien de grains sur la 32e case ?
Sur la case \(k\), il y a \(2^{k-1}\) grains. Pour la 32e case :
\[ u_{32}=2^{31}=2\,147\,483\,648. \]Il y a donc 2 147 483 648 grains sur la 32e case.
Exercice 2 : à partir de quelle case le total dépasse-t-il un million ?
Après \(n\) cases, le total est \(S_n=2^n-1\). On cherche :
\[ \begin{aligned} 2^n-1 > 1\,000\,000 \\ \iff 2^n > 1\,000\,001. \end{aligned} \]Or \(2^{19}=524\,288\) et \(2^{20}=1\,048\,576\). Le total dépasse donc un million à partir de la 20e case.
Exercice 3 : quelle part du total représente la dernière case ?
La dernière case contient \(2^{63}\) grains et le total vaut \(2^{64}-1\). La proportion est :
\[ \frac{2^{63}}{2^{64}-1}\approx \frac{1}{2}. \]La dernière case contient donc presque la moitié de tous les grains de l’échiquier.
9. Questions fréquentes sur l’échiquier de Sissa
Quel est le nombre total de grains de riz sur l’échiquier de Sissa ?
Le total est :
\[ 2^{64}-1=18\,446\,744\,073\,709\,551\,615. \]Cela représente environ 18,45 milliards de milliards de grains.
Pourquoi le résultat est-il \(2^{64}-1\) et non \(2^{64}\) ?
Parce que la première case contient \(2^0\) grain, la deuxième \(2^1\), la troisième \(2^2\), et ainsi de suite jusqu’à la 64e case qui contient \(2^{63}\). La somme est donc :
\[ 2^0+2^1+2^2+\cdots+2^{63}=2^{64}-1. \]La légende de Sissa est-elle vraie ?
Il faut la lire comme une légende ou une fable mathématique. Elle n’est pas une preuve historique de l’invention des échecs, mais elle reste un excellent récit pour comprendre les suites géométriques et la croissance exponentielle.
Dans quel chapitre de maths retrouve-t-on ce problème ?
On le rencontre dans les chapitres sur les puissances, les suites géométriques, la notation scientifique, les ordres de grandeur et parfois les logarithmes.
8. Pour réviser après cette page
Après la lecture, voici les chapitres utiles pour revoir les notions mobilisées : puissances, suites géométriques, logarithmes et ordres de grandeur.