COURS. (Version PDF)

1 - Définitions. 

      
1a : ω est une forme différentielle sur U.

Sur IR².
ω application de U → L( IR², IR)  telle qu ’il existe P, Q, de classe C1 de U → IR tel que : ω(x,y) = P(x,y) dx + Q(x,y) dy

Sur IR3.
ω application de U → L( IR³, IR)  telle qu ’il existe P, Q, R de classe C1 de U → IR tel que : ω(x,y) = P(x,y) dx + Q(x,y) dy + R(x,y) dz

---

1b : ω est une Forme différentielle exacte (ou admettant des primitives ou totale).

ω exacte sur U ssi il existe F : U →  IR de classe C1(U) telle que pour a de U :  da F= ω(a) 

Sur IR² : Cela correspond à :

 

---

1c. Potentiel scalaire.    : Soit F champ de vecteur de classe C¹ sur IR³

 F dérive d’un potentiel scalaire (ou admet) 
si il existe un champ scalaire  f de U ⊂ IR³ → IR  , de classe C1, tel que :

A toute forme différentielle :

 On peut associer le champ de vecteurs

Alors

---

1d : ω est une Forme différentielle fermée.
Sur IR² : ω fermée si :

Sur IR³ : ω fermée si :

Sur IR^p : ω fermée si :

               

---

1e : Partie étoilée.

- X étoilé par rapport à A si :      ∀M∈X on a  [AM] ⊂ X

- X étoilé si :      ∃ A∈X tq X étoilé par rapport à A.

Remarque : toute partie convexe est étoilée par rapport à chacun de ses points

2 - Théorèmes.  U ouvert de IR^p

2a : Proposition.

Si U connexe et ω exacte ⇒ ω admet au moins une primitive F et les autres sont de la forme {F + a, a ∈IR  }

---

2b : Théorème.

---

2c : Théorème de POINCARÉ. Du nom du mathématicien français POINCARÉ Jules Henri (1854-1912).

---

2d : Théorème.