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Mis à jour : 5 Septembre 2025

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Seconde
Les défis mathématiques

Classes de M. Duffaud

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Terence Tao est l'un des quatre mathématiciens qui a été récompensé en 2006 par la prestigieuse "Médaille Fields", l'équivalent du prix Nobel de Mathématiques. Tao, 31 ans à peine en 2006 est professeur à l'université de Californie de Los Angeles (UCLA) et est considéré comme l'un des hommes les plus intelligents de la planète (Il a obtenu un score de 760/800 au SAT de mathématiques à 9 ans).
Terence Tao aurait un QI de 230, ce qui en ferait « l’un des plus hauts jamais mesurés ».

Il confie dans le magazine Tangente n°112 d'octobre 2006 que pour lui la reine des sciences est un jeu. Il encourage vivement ses amateurs à "jouer avec les mathématiques", trouvant qu'on en donne aujourd'hui un image fausse dans la presse ou au cinéma. Il ajoute :

La chose la plus importante pour développer l'intérêt pour les mathématiques est d'avoir la capacité et la liberté de jouer avec elles, de se fixer à soi-même de petits défis, d'inventer de nouveaux jeux.

Alors suivons ses conseils.

Toute l'année, des défis mathématiques seront proposés aux étudiants. L'objectif est de pouvoir exposer une démonstration du problème posé au tableau avec un minimum de recours aux notes. 

1. 1. Défi n°1  
      Montrer que la racine carrée de 2 est un nombre irrationnel
      C'est à dire que \(\sqrt{2}\) ne peut pas s'écrire sous forme d'une fraction \(\dfrac{a}{b}\).
      
      
   2. Défi n°2  
      Trouver la fraction \(\dfrac{a}{b}\) dont l'écriture décimale (périodique) est : \(0,123123123123\cdots \)
      Cette écriture sous-entend que partie décimale décimale de ce nombre est composée d'un bloc de chiffres, ici 123, qui se répètent à l'infini, on le note :
      $$\dfrac{a}{b}=0,\overline{123}$$
      
      
   3. Défi n°3  
      Montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers.
         
   4. Défi n°4 
      Trouver le dernier chiffre (chiffre des unités) de \(7^{2025}\).
        
   5. Défi n°5 
      Dans un triangle équilatéral de côté 1, montrer que la hauteur mesure \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).
        
   6. Défi n°6 
      Montrer que \(\sqrt{3}\) est irrationnel.
        
   7. Défi n°7 - La série Harmonique (**)
      On considère la suite des sommes partielles $$
      H_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = 1 + \dfrac12+\dfrac13+\cdots+\dfrac1n
      $$
      Montrer que \((H_n)\) n’est pas bornée, donc que la série harmonique diverge.
        

 

 

Compléments

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• Dans le même esprit, participez à la chasse au trésor du site.

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