Comment calculer une racine carrée ? Méthodes, histoire et algorithmes
Calculer une racine carrée, ce n'est pas seulement appuyer sur la touche « racine » d'une calculatrice. Pendant des siècles, les mathématiciens ont cherché des méthodes pour approcher \(\sqrt{a}\) : encadrements par des carrés, algorithmes d'extraction, moyenne de Héron, méthode de Newton, puis calculs numériques modernes.
Cette page explique comment calculer concrètement une racine carrée. On part de la définition rigoureuse, puis on construit plusieurs méthodes : d'abord les encadrements simples, ensuite les approximations décimales, puis les algorithmes historiques et modernes.
Page complémentaire. Cette page traite du calcul. Pour l'histoire du signe \(\sqrt{}\) lui-même, voir aussi : Le symbole racine carrée : histoire du signe \(\sqrt{}\).
Définition rigoureuse de la racine carrée
Définition utilisée en France.
Soit \(a\) un nombre réel positif ou nul. La racine carrée de \(a\), notée \(\sqrt{a}\), est l'unique nombre réel positif ou nul dont le carré est égal à \(a\).
Autrement dit :
$$ \sqrt{a}\geq 0 \qquad\text{et}\qquad \left(\sqrt{a}\right)^2=a. $$Par exemple, \(\sqrt{25}=5\), car \(5\geq 0\) et \(5^2=25\).
Attention. Calculer \(\sqrt{a}\) ne signifie pas résoudre directement l'équation \(x^2=a\). Lorsque \(a>0\), cette équation possède deux solutions :
$$ x^2=a \qquad\Longleftrightarrow\qquad x=\sqrt{a}\quad\text{ou}\quad x=-\sqrt{a}. $$Par exemple, \(\sqrt{9}=3\), mais l'équation \(x^2=9\) a deux solutions : \(3\) et \(-3\).
Commencer par les carrés parfaits
La première méthode consiste à reconnaître les carrés parfaits. Un carré parfait est un nombre qui est le carré d'un entier : \(1,4,9,16,25,36\), etc.
| \(n\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(n^2\) | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 | 121 | 144 | 169 | 196 | 225 |
Exemples.
$$ \sqrt{49}=7, \qquad \sqrt{100}=10, \qquad \sqrt{144}=12. $$Dans ces cas, le calcul est exact, car le nombre sous la racine est un carré parfait.
Encadrer une racine carrée
Quand le nombre n'est pas un carré parfait, on commence par l'encadrer entre deux carrés parfaits consécutifs. Cette méthode donne immédiatement un ordre de grandeur.
Exemple avec \(\sqrt{10}\).
$$ 3^2=9 \qquad\text{et}\qquad 4^2=16. $$Comme \(9<10<16\), on obtient :
$$ 3<\sqrt{10}<4. $$On sait donc que \(\sqrt{10}\) est un nombre compris entre 3 et 4.
Autre exemple avec \(\sqrt{50}\).
$$ 7^2=49 \qquad\text{et}\qquad 8^2=64. $$Comme \(49<50<64\), on obtient :
$$ 7<\sqrt{50}<8. $$On peut même sentir que \(\sqrt{50}\) est proche de 7, car 50 est très proche de 49.
Obtenir une approximation décimale
Pour obtenir une valeur décimale, on affine l'encadrement. On teste des nombres décimaux, puis on compare leurs carrés au nombre de départ.
Approximation de \(\sqrt{10}\) au dixième.
$$ 3,1^2=9,61 \qquad\text{et}\qquad 3,2^2=10,24. $$Donc :
$$ 3,1<\sqrt{10}<3,2. $$Approximation de \(\sqrt{10}\) au centième.
$$ 3,16^2=9,9856 \qquad\text{et}\qquad 3,17^2=10,0489. $$Donc :
$$ 3,16<\sqrt{10}<3,17. $$On en déduit que \(\sqrt{10}\approx 3,16\) au centième.
Approximation de \(\sqrt{10}\) au millième.
$$ 3,162^2=9,998244 \qquad\text{et}\qquad 3,163^2=10,004569. $$Donc :
$$ 3,162<\sqrt{10}<3,163. $$On en déduit que \(\sqrt{10}\approx 3,162\) au millième.
La méthode de Héron, ou méthode babylonienne
La méthode de Héron est une méthode très rapide pour approcher une racine carrée. Elle part d'une idée géométrique simple : si l'on veut construire un carré d'aire \(a\), son côté doit mesurer \(\sqrt{a}\). Si l'on choisit une longueur approximative \(x_n\), alors l'autre côté du rectangle d'aire \(a\) est \(\dfrac{a}{x_n}\). La moyenne de ces deux longueurs donne une meilleure approximation.
Formule de la méthode de Héron.
Soit \(a>0\). On choisit une première approximation \(x_0>0\), puis on calcule :
La suite ainsi obtenue se rapproche très vite de \(\sqrt{a}\).
| Étape | Calcul | Valeur approchée |
|---|---|---|
| \(x_0\) | On choisit une première approximation. | 3,2 |
| \(x_1\) | \(\dfrac{1}{2}\left(3,2+\dfrac{10}{3,2}\right)\) | 3,1625 |
| \(x_2\) | \(\dfrac{1}{2}\left(3,1625+\dfrac{10}{3,1625}\right)\) | 3,16227766... |
En deux itérations seulement, on obtient déjà une très bonne approximation de \(\sqrt{10}\). C'est pour cette raison que cette méthode est restée importante dans l'histoire du calcul numérique.
Remarque historique. La méthode est souvent appelée « méthode babylonienne ». Ce nom rappelle la très ancienne tradition mésopotamienne des approximations de racines, notamment autour de \(\sqrt{2}\). Mais dans les textes anciens, il faut rester prudent : la formule moderne écrite avec des lettres n'est pas directement présentée comme aujourd'hui.
Lien avec la méthode de Newton
La méthode de Héron peut aussi se comprendre avec la méthode de Newton. Pour calculer \(\sqrt{a}\), on cherche le nombre positif \(x\) tel que :
$$ x^2-a=0. $$On applique alors la méthode de Newton à la fonction :
$$ f(x)=x^2-a. $$Calcul. Comme \(f'(x)=2x\), la méthode de Newton donne :
$$ x_{n+1}=x_n-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)} =x_n-\dfrac{x_n^2-a}{2x_n}. $$Donc :
$$ x_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(x_n+\dfrac{a}{x_n}\right). $$On retrouve exactement la formule de Héron.
À retenir. La méthode de Héron est donc une version particulière de la méthode de Newton appliquée à l'équation \(x^2=a\). C'est un bel exemple de continuité entre un calcul très ancien et l'analyse moderne.
L'algorithme d'extraction à la main
Avant les calculatrices, on enseignait un algorithme d'extraction de la racine carrée à la main. Il ressemble à une division posée. Il permet de calculer les chiffres de la racine un par un, sans avoir à tester toutes les décimales au hasard.
Principe. On groupe les chiffres du nombre par paquets de deux, en partant de la virgule. Chaque paquet fournit un chiffre de la racine carrée.
Par exemple :
$$ 2025 = 20\,|\,25. $$| Étape | Action | Résultat |
|---|---|---|
| 1 | On groupe les chiffres par paquets de deux : \(20|25\). | |
| 2 | Le plus grand carré inférieur ou égal à 20 est \(4^2=16\). | Premier chiffre : 4 ; reste : \(20-16=4\). |
| 3 | On descend le paquet suivant : 25. Le nouveau nombre est 425. | |
| 4 | On double 4, ce qui donne 8. On cherche le chiffre \(d\) tel que \((80+d)d\leq 425\). | \(d=5\), car \(85\times 5=425\). |
| 5 | La racine est donc formée des chiffres 4 puis 5. | \(\sqrt{2025}=45\). |
Pour obtenir des décimales, on continue en ajoutant des paquets \(00\) après la virgule. Par exemple, pour \(\sqrt{10}\), l'algorithme donne successivement \(3\), puis \(3,1\), puis \(3,16\), puis \(3,162\), etc.
Cette méthode est aujourd'hui moins utilisée en classe, mais elle est historiquement importante : elle montre que l'on peut calculer une racine carrée chiffre par chiffre, avec seulement des opérations élémentaires.
Un petit algorithme Python
La méthode de Héron se programme très facilement. Voici une version simple qui répète la formule plusieurs fois.
def racine_heron(a, iterations=10):
if a < 0:
raise ValueError("La racine carrée réelle n'est pas définie pour un nombre négatif.")
if a == 0:
return 0
x = a
for _ in range(iterations):
x = 0.5 * (x + a / x)
return x
print(racine_heron(10, 5))Comment lire ce programme ? On choisit une première approximation \(x\), puis on remplace plusieurs fois \(x\) par la moyenne de \(x\) et de \(a/x\). Après quelques tours, on obtient une valeur très proche de \(\sqrt{a}\).
Repères historiques
La tablette babylonienne YBC 7289, généralement datée entre 1800 et 1600 avant notre ère, contient une approximation sexagésimale très précise de \(\sqrt{2}\) : \(1;24,51,10\), soit environ \(1,414213\). C'est l'un des témoignages les plus célèbres de la maîtrise ancienne des approximations de racines carrées.
Au Ier siècle, Héron d'Alexandrie décrit dans la Metrica un procédé itératif d'approximation des racines carrées. La méthode qui porte son nom est encore enseignée aujourd'hui, car elle est simple, rapide et très efficace.
Au Moyen Âge, Fibonacci présente lui aussi des calculs de racines dans le Liber Abaci et la Practica geometriae. Les études récentes montrent que ses méthodes sont décrites verbalement et résumées dans des tableaux, avec des procédés qui ne coïncident pas toujours avec la présentation moderne de l'extraction chiffre par chiffre.
Dans les calculatrices et les ordinateurs, les racines carrées sont calculées par des algorithmes numériques rapides. La méthode de Newton, les variantes de la méthode de Héron et les méthodes adaptées au calcul binaire jouent un rôle central dans le calcul moderne.
Erreurs classiques à éviter
| Erreur fréquente | Pourquoi c'est faux | À retenir |
|---|---|---|
| \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\) | La racine carrée ne se distribue pas sur une somme. | Par exemple, \(\sqrt{9+16}=5\) mais \(\sqrt9+\sqrt{16}=7\). |
| \(\sqrt{a^2}=a\) pour tout réel \(a\) | Si \(a\) est négatif, \(a\) n'est pas la valeur positive. | \(\sqrt{a^2}=|a|\). |
| Calculer \(\sqrt{-4}\) dans les réels | Il n'existe aucun réel dont le carré vaut \(-4\). | Dans les réels, \(\sqrt{a}\) est définie pour \(a\geq 0\). |
À retenir
Calculer une racine carrée consiste généralement à chercher une valeur exacte quand le nombre est un carré parfait, ou une valeur approchée lorsqu'il ne l'est pas. Les encadrements donnent une première estimation, la méthode de Héron donne rapidement de très bonnes approximations, et l'algorithme d'extraction à la main calcule les chiffres un par un.
- \(\sqrt{a}\) désigne l'unique réel positif ou nul dont le carré vaut \(a\), pour \(a\geq 0\).
- Les carrés parfaits donnent des racines exactes : \(\sqrt{144}=12\).
- Les encadrements permettent d'obtenir rapidement un ordre de grandeur.
- La méthode de Héron utilise la formule \(x_{n+1}=\dfrac12\left(x_n+\dfrac{a}{x_n}\right)\).
- La méthode de Héron est la méthode de Newton appliquée à l'équation \(x^2=a\).
- L'algorithme d'extraction à la main calcule les chiffres de la racine un par un.
Sources et bibliographie
- [YBC7289] : YBC 7289, tablette babylonienne conservée dans la Yale Babylonian Collection, contenant une approximation sexagésimale de \(\sqrt{2}\). Voir notamment les notices et synthèses consacrées à cette tablette.
- [Fowler-Robson] : David Fowler et Eleanor Robson, Square Root Approximations in Old Babylonian Mathematics: YBC 7289 in Context, Historia Mathematica, vol. 25, no 4, 1998, p. 366-378.
- [Héron] : Héron d'Alexandrie, Metrica, livre I. La méthode d'approximation des racines carrées est traditionnellement associée à cet ouvrage.
- [Heath] : Thomas L. Heath, A History of Greek Mathematics, vol. II, Oxford, Clarendon Press, 1921.
- [Algorithms] : Square root algorithms, article encyclopédique anglophone, consulté le 13 juin 2026. L'article présente la méthode de Héron, la méthode de Newton et l'algorithme d'extraction chiffre par chiffre. Disponible en ligne : https://en.wikipedia.org/wiki/Square_root_algorithms.
- [Newton] : Newton's method, article encyclopédique anglophone, consulté le 13 juin 2026. L'article rappelle que l'application de la méthode de Newton à \(f(x)=x^2-a\) donne la formule de Héron. Disponible en ligne : https://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_method.
- [Steihaug] : Trond Steihaug, Annotated square root computation in Liber Abaci and De Practica Geometrie by Fibonacci, 2024. Disponible en ligne : arXiv:2401.12016.
- [Hamming] : Richard W. Hamming, Numerical Methods for Scientists and Engineers, Dover Publications, 1986.