Le symbole racine carrée : histoire du signe \(\sqrt{}\)
Le signe \(\sqrt{}\) paraît aujourd'hui évident. Pourtant, il est le résultat d'une longue histoire : pendant des siècles, les mathématiciens ont écrit les racines avec des mots, des abréviations, des lettres ou des symboles locaux. Le radical moderne s'est fixé peu à peu entre le Moyen Âge, la Renaissance allemande et l'algèbre cartésienne.
Cette page retrace l'évolution du symbole de la racine carrée, depuis les notations médiévales jusqu'à la forme moderne \(\sqrt{x}\). Elle commence par une définition rigoureuse, car l'histoire d'un symbole n'a de sens que si l'on sait précisément ce que le symbole désigne.
Définition rigoureuse de la racine carrée
Définition utilisée en France.
Soit \(a\) un nombre réel positif ou nul. La racine carrée de \(a\), notée \(\sqrt{a}\), est l'unique nombre réel positif ou nul dont le carré est égal à \(a\).
Autrement dit :
$$ \sqrt{a}\geq 0 \qquad\text{et}\qquad \left(\sqrt{a}\right)^2=a. $$Par exemple, \(\sqrt{9}=3\).
Attention à ne pas confondre.
La notation \(\sqrt{a}\) désigne un nombre positif ou nul. En revanche, l'équation \(x^2=a\) peut avoir deux solutions réelles lorsque \(a>0\).
Par exemple :
$$ x^2=9 \qquad\Longleftrightarrow\qquad x=3\quad\text{ou}\quad x=-3. $$Plus généralement, si \(a>0\), alors :
$$ x^2=a \qquad\Longleftrightarrow\qquad x=\sqrt{a}\quad\text{ou}\quad x=-\sqrt{a}. $$Mais la notation \(\sqrt{a}\), elle, désigne seulement la solution positive.
Cette distinction est essentielle pour comprendre l'histoire du symbole. Le signe \(\sqrt{}\) ne sert pas seulement à écrire plus vite : il impose une convention de lecture. Un symbole mathématique fixe une manière de calculer, mais aussi une manière de choisir une valeur parmi plusieurs possibilités.
Maths US : square root et principal square root
Maths US / anglophone : une différence de vocabulaire
Dans les ressources anglophones, la distinction est souvent plus explicite qu'en français scolaire. On distingue a square root, c'est-à-dire une racine carrée possible, et the principal square root, c'est-à-dire la racine carrée principale, celle qui est positive ou nulle.
A square root of \(x\) is a number \(y\) such that \(y^2=x\).
The principal square root of \(x\geq 0\) is the unique nonnegative square root, denoted \(\sqrt{x}\).
Traduction. Une racine carrée d'un nombre \(x\) est un nombre \(y\) tel que \(y^2=x\). La racine carrée principale d'un réel positif ou nul \(x\) est l'unique racine carrée positive ou nulle, notée \(\sqrt{x}\).
Par exemple, en vocabulaire anglophone, \(3\) et \(-3\) sont deux square roots de \(9\), car \(3^2=9\) et \((-3)^2=9\). Mais \(\sqrt{9}=3\) est la principal square root.
En français scolaire, lorsque l'on dit « la racine carrée de 9 », on parle directement de \(\sqrt{9}=3\). Dans un texte anglophone, il faut vérifier si l'auteur parle de a square root ou de the principal square root. Cette nuance explique certaines différences de formulation entre les manuels français et américains.
Avant le symbole moderne : mots, lettres et abréviations
Avant l'installation du signe \(\sqrt{}\), les calculs de racines sont souvent exprimés en toutes lettres. Les textes parlent de radix, de racine, ou utilisent des abréviations. Le mot latin radix signifie littéralement « racine » : il est au cœur de l'histoire du symbole radical.
Cette période appartient à ce que les historiens appellent parfois une algèbre encore largement rhétorique ou syncopée : on ne dispose pas encore d'un système stable et universel de signes. Les règles sont connues, mais leur écriture varie selon les manuscrits, les imprimeurs, les langues et les écoles de calcul.
Le mot radical vient de radix, la racine. C'est pour cela que l'on appelle encore aujourd'hui \(\sqrt{}\) le signe radical, et que l'expression placée sous la racine s'appelle le radicande.
Fibonacci et Chuquet : calculer les racines avant \(\sqrt{}\)
Au XIIIe siècle, Leonardo de Pise, dit Fibonacci, consacre des passages importants au calcul des racines, notamment dans le Liber Abaci et la Practica geometriae. Les études récentes soulignent que ses méthodes d'extraction de racines sont décrites essentiellement par des procédures verbales et des tableaux de calcul, et non par notre notation radicale moderne.
Au XVe siècle, Nicolas Chuquet utilise une notation très personnelle dans son Triparty en la science des nombres, rédigé en 1484. Les radicaux peuvent y être notés avec la lettre R, et certaines notations composées permettent de préciser la portée de la racine.
Exemple de lecture.
Dans l'ancienne notation attribuée à Chuquet, une expression du type :
« RU 35 moins R 15 »
peut être comprise comme une racine englobant une expression plus longue. $$\sqrt{35-\sqrt{15}}$$
On voit apparaître une idée capitale : remplacer une phrase par un signe compact, mais aussi indiquer jusqu'où s'étend la racine.
À retenir. Il faut éviter de présenter Fibonacci ou Chuquet comme les inventeurs directs du symbole \(\sqrt{}\). Leur importance est ailleurs : ils montrent que les mathématiciens cherchent déjà à calculer, organiser et abréger les racines avant la fixation du radical moderne.
1525 : Rudolff et la première apparition imprimée du signe radical
Le moment décisif arrive avec Christoff Rudolff. En 1525, il publie à Strasbourg son livre d'algèbre Behend und hübsch Rechnung durch die kunstreichen regeln Algebre, so gemeinicklich die Coss genent werden, généralement appelé Die Coss.
Le MacTutor History of Mathematics Archive présente cet ouvrage comme le premier livre allemand d'algèbre et indique que Rudolff y utilise \(\sqrt{}\) pour les racines carrées. Cette apparition est généralement retenue comme la première apparition imprimée du signe radical pour la racine carrée.
Dans les écoles d'algèbre de la Renaissance, l'inconnue est souvent appelée la « chose » : cosa en italien, Coss en allemand. Les algébristes allemands sont alors appelés cossistes. Leur travail n'est pas seulement de résoudre des équations : ils inventent aussi des manières plus efficaces de les écrire.
Rudolff ne donne pas encore exactement notre symbole typographique moderne. Le radical imprimé est plus court, sans barre supérieure continue sur le radicande. Il utilise aussi des points pour aider à indiquer jusqu'où s'étend la racine dans certaines expressions. Cette question de la portée du radical sera essentielle dans la stabilisation de la notation.
Une origine discutée : le signe vient-il de la lettre r ?
Une explication souvent répétée affirme que le signe \(\sqrt{}\) viendrait d'une déformation de la lettre r, initiale de radix. L'idée est ancienne : Leonhard Euler l'évoque encore au XVIIIe siècle. Elle est séduisante, car les mathématiciens médiévaux utilisent fréquemment des abréviations issues de mots latins.
Mais l'historien Florian Cajori reste prudent. Dans son A History of Mathematical Notations, il insiste sur la difficulté d'établir avec certitude l'origine graphique exacte du radical. Il est donc préférable de dire que l'origine par la lettre r est probable ou plausible, mais non démontrée de manière définitive.
Point de méthode historique. Une page sérieuse ne doit pas transformer une hypothèse séduisante en certitude. Pour le symbole \(\sqrt{}\), l'origine par radix est cohérente, mais les formes manuscrites et imprimées anciennes imposent de rester nuancé.
1637 : Descartes et la barre supérieure
En 1637, René Descartes publie La Géométrie, l'un des trois essais qui accompagnent le Discours de la méthode. L'ouvrage est célèbre pour avoir contribué à unir algèbre et géométrie, mais il joue aussi un rôle dans la stabilisation de plusieurs notations algébriques.
Dans l'histoire du radical, l'apport traditionnellement attribué à Descartes est l'association du signe \(\sqrt{}\) avec une barre horizontale supérieure, appelée vinculum. Cette barre permet d'indiquer clairement jusqu'où s'étend la racine. La différence est essentielle :
$$ \sqrt{a+b}\neq \sqrt{a}+b. $$
La barre supérieure n'est pas un simple détail esthétique. Elle joue le rôle de parenthèses : elle indique ce qui est placé sous la racine. Sans elle, la notation devient vite ambiguë dès que l'expression comporte plusieurs termes.
La Coss, Cardan et les notations de la Renaissance
La Renaissance est une période de grande effervescence symbolique. Les mathématiciens cherchent à remplacer les longs raisonnements verbaux par des écritures plus rapides : signes pour les opérations, lettres pour les inconnues, abréviations pour les puissances, signes pour les racines.
Dans l'Ars Magna publiée en 1545, Girolamo Cardano utilise encore une notation très éloignée de la nôtre. L'ouvrage est pourtant majeur : il contient les premières solutions publiées des équations du troisième et du quatrième degré, et il fait apparaître des racines de nombres négatifs dans un problème célèbre où il s'agit de trouver deux nombres de somme 10 et de produit 40.
Cette période rappelle une idée importante : les symboles que nous utilisons aujourd'hui n'ont pas été adoptés d'un seul coup. Ils se sont imposés parce qu'ils étaient plus lisibles, plus courts et mieux adaptés aux calculs complexes.
Racines cubiques et racines n-ièmes
Le signe radical ne sert pas seulement aux racines carrées. On écrit aujourd'hui :
$$ \sqrt[3]{x}\quad\text{pour la racine cubique, et plus généralement}\quad \sqrt[n]{x}. $$La notation avec un petit indice placé au-dessus du radical se fixe progressivement. Albert Girard propose au XVIIe siècle des notations de ce type pour les racines cubiques et les racines d'ordre supérieur. Selon Cajori, l'adoption durable de cette écriture passe notamment par Michel Rolle à la fin du XVIIe siècle.
Notation actuelle. Pour tout entier \(n\geq 2\), \(\sqrt[n]{x}\) désigne une racine n-ième de \(x\), avec des conventions particulières selon que l'on travaille dans les réels ou dans les complexes.
Frise chronologique du symbole racine carrée
À retenir
Le symbole \(\sqrt{}\) n'est pas né d'un seul geste. Il résulte d'une longue évolution : mots latins, abréviations, lettres, notations cossiques, impression allemande, puis stabilisation cartésienne.
- En France, \(\sqrt{a}\) désigne l'unique réel positif ou nul dont le carré vaut \(a\), pour \(a\geq 0\).
- Dans les ressources anglophones, on distingue souvent a square root et the principal square root.
- Rudolff est généralement associé à la première apparition imprimée du radical pour la racine carrée en 1525.
- Descartes contribue à la forme moderne avec la barre supérieure indiquant la portée de la racine.
- Cajori invite à rester prudent sur l'origine graphique exacte du signe.
Comment calculer une racine carrée ?
Cette page raconte l'histoire du symbole \(\sqrt{}\). Pour comprendre comment on calcule concrètement une racine carrée, il faut étudier les méthodes d'approximation : encadrements, extraction décimale, méthode de Héron, algorithme de Newton ou encore constructions géométriques.
Une page complémentaire peut donc prolonger celle-ci en montrant comment passer du symbole à un calcul effectif.
Comment calculer une racine carrée ? Méthodes, histoire et algorithmes
Sources et bibliographie
- [RacineCarrée-FR] : Racine carrée, article encyclopédique francophone, consulté le 13 juin 2026. L'article rappelle qu'en mathématiques élémentaires la racine carrée d'un réel positif est l'unique réel positif dont le carré vaut ce nombre. Disponible en ligne : https://fr.wikipedia.org/wiki/Racine_carr%C3%A9e.
- [SquareRoot] : Square root, article encyclopédique anglophone, consulté le 13 juin 2026. L'article distingue a square root et the principal square root, notée \(\sqrt{x}\). Disponible en ligne : https://en.wikipedia.org/wiki/Square_root.
- [Cajori] : Florian Cajori, A History of Mathematical Notations, vol. I, Chicago, Open Court Publishing Company, 1928. Édition numérisée : Internet Archive.
- [MacTutor-Rudolff] : J. J. O'Connor et E. F. Robertson, Christoff Rudolff, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews. Disponible en ligne : MacTutor — Christoff Rudolff.
- [Rudolff-1525] : Christoff Rudolff, Behend vnnd hübsch Rechnung durch die kunstreichen regeln Algebra, so gemeinicklich die Coß genannt werden, Strasbourg, 1525. Exemplaire numérisé : Google Books.
- [Steihaug] : Trond Steihaug, Annotated square root computation in Liber Abaci and De Practica Geometrie by Fibonacci, 2024. Disponible en ligne : arXiv:2401.12016.
- [Chuquet] : Nicolas Chuquet, Triparty en la science des nombres, manuscrit de 1484, édité par Aristide Marre dans le Bulletino di bibliografia e di storia delle scienze matematiche e fisiche, 1880.
- [Descartes-1637] : René Descartes, La Géométrie, 1637. Édition numérisée : Project Gutenberg. Fac-similé conseillé : Gallica/BnF.
- [Cardan-1545] : Girolamo Cardano, Artis magnae sive de regulis algebraicis liber unus, Nuremberg, 1545. Fac-similés disponibles via Internet Archive et Bayerische Staatsbibliothek.
- [DaPe] : Amy Dahan-Dalmedico et Jeanne Peiffer, Une histoire des mathématiques : routes et dédales, Paris, Seuil, 1986.
- [HaSu] : Bernard Hauchecorne et Daniel Suratteau, Des mathématiciens de A à Z, Paris, Ellipses, 1996.
- [Escofier] : Jean-Pierre Escofier, Théorie de Galois, Masson, Paris, 1997, p. 5. Source utilisée pour les synthèses modernes sur les notations cossiques et certains extraits pédagogiques reproduits dans la page.