Evolution de l'ecriture d'une equation
Une equation qui s'ecrit aujourd'hui tres simplement
$$ 2x^2-5x=23 $$a longtemps ete formulee avec des mots, des abreviations ou des symboles tres differents. L'histoire des equations n'est donc pas seulement l'histoire de leurs solutions : c'est aussi l'histoire de leur ecriture.
Cette page suit l'evolution des notations a partir d'un meme exemple : l'equation \(2x^2-5x=23\). L'objectif n'est pas de dire que tous les auteurs ont ecrit exactement cette equation sous cette forme, mais de montrer comment les notations ont progressivement conduit vers notre langage algebrique actuel.
Page mere. Cette page est un zoom sur l'ecriture des equations. Pour une vision plus large sur l'histoire de leur resolution, voir aussi : Les equations ... toute une histoire.
Trois formes d'algebre : rhetorique, syncopée, symbolique
Avant l'ecriture moderne, l'algebre a connu plusieurs manieres de representer les calculs et les equations.
| Forme d'algebre | Principe | Exemple d'idee |
|---|---|---|
| Algebre rhetorique | Tout est exprime avec des phrases. | "Trouver un nombre dont le double du carre diminue de cinq fois ce nombre vaut vingt-trois." |
| Algebre syncopée | On utilise des abreviations pour l'inconnue, le carre, les operations ou l'egalite. | Le carre peut etre note par une lettre, un mot abrege ou un signe special. |
| Algebre symbolique | Les relations sont ecrites avec des lettres et des symboles stabilises. | \(2x^2-5x=23\) |
Chez Al-Khwarizmi, au IXe siecle, l'algebre est essentiellement rhetorique : les procedures sont exposees avec des mots, en classant les equations et en decrivant les operations de restauration et de reduction. Il ne faut donc pas lui attribuer une notation symbolique moderne. Son apport est ailleurs : il organise l'algebre comme une methode generale de transformation et de resolution des equations.
L'exemple suivi : \(2x^2-5x=23\)
L'equation choisie est volontairement simple :
$$ 2x^2-5x=23. $$Elle permet de comparer les notations sans changer de probleme. Aujourd'hui, nous distinguons clairement le coefficient \(2\), l'inconnue \(x\), son carre \(x^2\), le signe moins, le signe egal et le second membre. Pendant des siecles, ces elements n'ont pas ete notes de facon uniforme.
Lecture moderne. L'equation \(2x^2-5x=23\) signifie : le double du carre d'un nombre, diminue de cinq fois ce nombre, est egal a 23.
Tableau historique des ecritures
Le tableau suivant presente des ecritures ou des transcriptions pedagogiques de l'equation \(2x^2-5x=23\). Certaines lignes reproduisent des usages attestes chez les auteurs cites ; d'autres adaptent leur notation au meme exemple afin de rendre la comparaison lisible.
| Auteur ou tradition | Ecriture ou transcription | Commentaire historique |
|---|---|---|
| Al-Khwarizmi vers 820 |
Formulation rhetorique : "un carre et des racines egalent un nombre", selon les types d'equations et les operations de restauration et reduction. | Al-Khwarizmi ne note pas notre equation avec des symboles. Son apport est l'organisation de l'algebre rhetorique et des transformations d'equations. |
| Diophante Antiquite tardive |
 |
Diophante utilise une algebre syncopée, avec des abreviations pour l'inconnue et ses puissances. |
| Pacioli / Tartaglia XVe-XVIe siecles |
Trouve moi un nombre dont le double du carre diminue de cinq fois lui-meme fait vingt-trois. | La phrase reste proche de l'algebre rhetorique : le probleme est formule en langage courant. |
| Van der Hoek debut XVIe siecle |
2 SC - 5 PN dit is ghelije 23 | Les notations melangent abreviations et mots. On n'est pas encore dans un symbolisme universel. |
| Cardan 1545 |
duo quad. m quinque reb. aequalis 23 | Cardan emploie encore un vocabulaire abrege : quad. pour le carre, reb. pour la chose ou l'inconnue. |
| Rudolff / Stifel XVIe siecle |
2 z aequatus 5x + 23 | Les algebraistes germaniques utilisent des signes et abreviations propres a la tradition cossique. |
| Gosselin 1577 |
2Q M 5L aequalia 23 | \(Q\) renvoie au carre, souvent "quarre" ; \(L\) peut renvoyer a la ligne ou a la grandeur de premier degre. |
| Bombelli 1572 |
 |
Bombelli emploie une notation syncopée tres reconnaissable, encore eloignee de notre ecriture compacte. |
| Viete fin XVIe siecle |
2Q - 5N aequatur 23 | Viete joue un role majeur dans l'algebre litterale : les lettres permettent de raisonner plus generalement. |
| Ramus / Clavius fin XVIe - debut XVIIe siecle |
2q - 5l aequatus sit 23 | Les mots latins et les abreviations coexistent encore avec des notations plus compactes. |
| Buteo 1559 |
2a M 5p = 23 | Le signe egal commence a s'imposer progressivement, mais les notations des puissances restent variables. |
| Girard 1629 |
2(2) - 5(1) = 23(0) | Girard contribue a une vision plus generale des equations et des racines, y compris negatives et imaginaires. Il ne faut pas lui attribuer directement le theoreme fondamental de l'algebre sous sa forme moderne. |
| Harriot 1631 |
2aa - 5a = 23 | L'ecriture par juxtaposition, comme \(aa\), annonce l'usage moderne des lettres pour les puissances. |
| Descartes 1637 |
2zz - 5z = 23 | Avec Descartes, l'usage des lettres de fin d'alphabet pour les inconnues et les exposants numeriques contribue fortement a la stabilisation moderne. |
| Herrigone 1634 |
2a2 ~ 5a z/z 23 | Herrigone propose une symbolique tres systematique, mais toutes ses notations ne seront pas retenues. |
| XVIIIe siecle | 2xx - 5x = 23 | L'ecriture devient tres proche de la notre, meme si l'exposant \(x^2\) n'a pas encore partout remplace \(xx\). |
| Notation moderne | \(2x^2-5x=23\) | Les exposants, les signes operationnels et le signe egal sont stabilises dans l'enseignement actuel. |
Ce qu'il faut comprendre
Les notations anciennes ne doivent pas etre lues comme de simples variantes typographiques de notre ecriture moderne. Elles correspondent souvent a une autre maniere de penser l'algebre : parfois comme une procedure verbale, parfois comme un calcul abrege, parfois comme un langage symbolique en construction.
Chez Al-Khwarizmi, l'essentiel n'est pas la notation, mais la methode : il classe les equations, decrit les transformations qui permettent de les ramener a des formes resolubles, et donne des procedures. Chez Diophante, Bombelli ou Cardan, on voit apparaitre des abreviations. Chez Viete, Harriot et Descartes, les lettres et les symboles deviennent de plus en plus puissants.
Une evolution lente. L'ecriture actuelle \(2x^2-5x=23\) est le resultat d'une longue stabilisation. Elle suppose que l'on dispose d'un signe egal, d'un symbole d'inconnue, d'une notation des puissances, de signes d'operation et d'une convention pour lire tous ces elements ensemble.
A propos de Girard. Girard occupe une place importante dans l'histoire des equations, notamment par son regard sur les racines positives, negatives et imaginaires. En revanche, le theoreme fondamental de l'algebre, souvent associe plus tard a d'Alembert et surtout a Gauss pour une demonstration rigoureuse, ne doit pas etre presente comme un resultat simplement "enonce par Girard" sous sa forme moderne.
Frise chronologique
Organisation de l'algebre rhetorique autour des operations de restauration et de reduction.
Usage d'une notation abrégée pour l'inconnue et ses puissances.
Dans l'Ars Magna, resolution des equations cubiques et usage d'un langage encore largement rhetorique et abrege.
Notation syncopée et travail important sur les nombres complexes dans l'algebre italienne.
Developpement de l'algebre litterale : les lettres deviennent un outil general de raisonnement.
Notation plus compacte avec juxtaposition des lettres et usage efficace des symboles.
La Geometrie contribue a stabiliser une notation proche de celle que nous utilisons aujourd'hui.
A retenir
L'ecriture moderne des equations n'est pas apparue d'un seul coup. Elle resulte d'une evolution lente, depuis les phrases de l'algebre rhetorique jusqu'au symbolisme compact que l'on utilise aujourd'hui.
- Al-Khwarizmi organise l'algebre rhetorique et les transformations d'equations.
- Diophante et plusieurs auteurs de la Renaissance utilisent des notations abregees.
- Cardan, Bombelli et les algebraistes italiens travaillent encore avec un langage hybride.
- Viete donne aux lettres un role decisif dans l'algebre generale.
- Harriot et Descartes contribuent a rapprocher l'ecriture des equations de notre notation actuelle.
- La forme \(2x^2-5x=23\) suppose une notation stabilisee des puissances, des operations et de l'egalite.
Sources et bibliographie
- [Cajori] : Florian Cajori, A History of Mathematical Notations, vol. I et II, Open Court, 1928-1929 ; reedition Dover. Ouvrage de reference pour les notations anciennes, a utiliser avec prudence pour les affirmations de premiere apparition.
- [Al-Khwarizmi] : Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi, Al-jabr wa'l-muqabala, vers 820. L'ouvrage organise l'algebre rhetorique et les operations de restauration et de reduction des equations.
- [Viète] : J. J. O'Connor et E. F. Robertson, François Viète, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews.
- [Harriot] : J. J. O'Connor et E. F. Robertson, Thomas Harriot, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews.
- [Escofier] : Jean-Pierre Escofier, Theorie de Galois, Masson, Paris, 1997. Source utile pour plusieurs tableaux pedagogiques sur les notations algebriques anciennes.
- [DaPe] : Amy Dahan-Dalmedico et Jeanne Peiffer, Une histoire des mathematiques : routes et dedales, Points Sciences, Seuil.