Le symbolisme algébrique : l'usage des lettres

De l'algèbre rhétorique au calcul symbolique

L'histoire du symbolisme algébrique ne se réduit pas à l'apparition de la lettre x. Elle correspond à une transformation plus profonde : les mathématiciens ont progressivement appris à représenter des opérations, des inconnues, des puissances et des coefficients par des signes manipulables.

On distingue souvent trois formes d'écriture algébrique :

• l'algèbre rhétorique : les problèmes et les solutions sont formulés presque entièrement en mots ;
• l'algèbre syncopée : certains mots fréquents sont abrégés, par exemple l'inconnue ou ses puissances ;
• l'algèbre symbolique : les lettres et les signes deviennent assez stables pour être manipulés comme des objets de calcul.

Deux processus se croisent donc dans cette histoire :

• inventer des notations maniables pour les opérations arithmétiques et les relations, afin de structurer une suite de calculs ;
• inventer des symboles pour l'inconnue, ses puissances et les coefficients, afin de former des expressions algébriques générales.

Antiquité : lettres en géométrie et abréviations algébriques

Dès l'Antiquité grecque, les lettres sont utilisées en géométrie pour désigner des points, des droites, des angles ou des figures. Dans ce contexte, elles ne désignent pas nécessairement des inconnues à trouver, mais plutôt des objets donnés de manière générale : le point A, la droite AB, le triangle ABC.

En arithmétique et dans la théorie des équations, la situation est différente. L'écriture reste longtemps beaucoup plus verbale. Un jalon essentiel est cependant l'oeuvre de Diophante d'Alexandrie, dont les Arithmétiques utilisent une écriture abrégée pour l'inconnue et pour certaines puissances de l'inconnue. On parle souvent, à son sujet, d'algèbre syncopée.

Monde arabe et Maghreb : une algèbre très technique, peu symbolique

Dans le monde arabe médiéval, l'algèbre atteint un haut niveau de technicité, notamment dans la résolution d'équations et dans les calculs numériques. Pourtant, une grande partie de cette algèbre reste rhétorique : les procédures sont souvent décrites avec des mots plutôt qu'avec un système de symboles comparable au nôtre.

Il existe cependant des tentatives importantes de notation. Le mathématicien andalou et maghrébin Al-Qalasadi (1412-1486), par exemple, utilise des lettres ou des abréviations arabes pour représenter des opérations et des objets algébriques : l'addition, la soustraction, la multiplication, la division, la racine, l'inconnue, le carré ou le cube. MacTutor le présente comme un auteur ayant franchi des étapes importantes vers le symbolisme algébrique, tout en rappelant que ces signes n'étaient pas une invention isolée : des tentatives analogues existaient déjà dans la tradition maghrébine. [MacTutor-Qalasadi]

Renaissance : premières lettres pour l'inconnue

En Europe, l'usage algébrique des lettres se développe surtout à partir du XVI^e siècle. Plusieurs auteurs jouent un rôle dans cette transition, sans encore atteindre la systématicité de Viète.

Francesco Maurolico, dit Francesco de Messina, utilise des lettres, mais son usage reste limité : il ne calcule pas encore avec elles comme on le fera plus tard dans l'algèbre littérale. Lorsqu'il effectue des opérations, il introduit souvent une nouvelle lettre pour représenter le résultat.

Une innovation importante consiste à utiliser des lettres capitales comme A, B, C, etc., pour désigner l'inconnue. On en trouve des formes, avec des variantes, chez Michael Stifel en 1544, chez Jacques Peletier du Mans en 1554, puis très clairement chez Jean Buteo, ou Jean Borrel, dans sa Logistica publiée en 1559. Cajori consacre précisément des notices et illustrations à Peletier, Buteo, Gosselin, Viète, Harriot et Descartes dans son étude des notations algébriques. [CajoV1]

Bombelli : un exemple de notation algébrique de la Renaissance

Raphaël Bombelli (1526-1572) publie son Algebra à la fin du XVI^e siècle. Son ouvrage est célèbre pour son rôle dans l'histoire des nombres complexes, mais il est aussi intéressant pour observer une notation algébrique encore éloignée de la nôtre.

Les signes, les abréviations et les dispositions typographiques permettent déjà de condenser les calculs. Mais les notations ne sont pas encore uniformisées : elles restent liées à l'école, à la langue et aux habitudes de l'auteur.

Ce que Cajori permet de préciser

Dans le volume I de A History of Mathematical Notations, Florian Cajori consacre une longue série de notices aux notations algébriques des auteurs, depuis Diophante et les traditions indienne et arabe jusqu'à Peletier, Buteo, Gosselin, Viète, Harriot et Descartes. Cette lecture permet d'éviter une histoire trop linéaire : avant la notation moderne, il existe une succession d'essais, de conventions locales et de compromis typographiques. [CajoV1]

Gosselin, un jalon français à ne pas oublier

Entre Buteo et Viète, Cajori signale Guillaume Gosselin, dont le De arte magna de 1577 utilise les lettres capitales A, B, C, D pour des inconnues dans certains systèmes d'équations. Il relève aussi l'usage de la lettre q, contraction de quantitas, pour représenter une seconde quantité inconnue. Ce n'est pas encore l'algèbre littérale moderne, mais c'est un jalon utile entre les abréviations renaissantes et la systématisation de Viète.

Viète : une révolution conceptuelle, mais pas encore une notation compacte

Cajori confirme l'importance capitale de Viète : les lettres capitales deviennent chez lui les représentantes de grandeurs générales, et il est le premier à faire de cette idée une partie essentielle de l'algèbre. Sa distinction est claire : les grandeurs cherchées sont notées par des voyelles, comme A, E, I, O, U, Y, tandis que les grandeurs données sont notées par des consonnes, comme B, C, D. [CajoV1]

Mais Cajori nuance aussi le tableau : la notation de Viète reste encore lourde. Il n'adopte pas vraiment la notation moderne des puissances ; on trouve encore des expressions du type A quadratum ou A cubus, et les éditions postérieures de Van Schooten introduisent parfois des modifications typographiques qui ne sont pas de Viète lui-même. Il faut donc présenter Viète comme un fondateur du calcul littéral général, non comme l'auteur direct de notre écriture algébrique actuelle.

Harriot et Descartes : la notation devient plus lisible

Cajori souligne ensuite le rôle de Thomas Harriot : il emploie des lettres minuscules à la place des capitales de Viète, note les puissances par répétition des facteurs et introduit les signes ">" et "<" pour les comparaisons. Il signale aussi que le point placé entre coefficient et lettres chez Harriot n'est probablement pas encore un véritable signe de multiplication, mais plutôt un séparateur typographique. [CajoV1]

Chez Descartes, Cajori voit une étape décisive vers notre notation : petites lettres, exposants entiers positifs écrits en chiffres indo-arabes et placés comme aujourd'hui, même si Descartes écrit encore parfois aa pour \(a^2\). La Géométrie fixe ainsi une écriture beaucoup plus proche de la nôtre : \(a+b\), \(a-b\), \(ab\), \(\dfrac{a}{b}\), \(a^2\), \(a^3\).

Viète : calculer avec des lettres

La mutation fondamentale vient de François Viète (1540-1603). Dans l'In artem analyticem isagoge, publié en 1591, il propose une algèbre nouvelle dans laquelle les lettres représentent non seulement les inconnues, mais aussi les grandeurs connues indéterminées, c'est-à-dire les coefficients ou paramètres.

Cette innovation est décisive : elle permet d'écrire des relations générales. Une équation n'est plus seulement un problème numérique particulier ; elle devient une forme que l'on peut manipuler, transformer et étudier.

Viète réalise ainsi des progrès considérables dans le calcul algébrique et dans ses applications à la géométrie. Les problèmes du second et du troisième degré, mais aussi certains problèmes de degré supérieur, peuvent être traités dans un langage beaucoup plus général. La dernière proposition de son traité est souvent rapprochée de la théorie des équations, car elle met en relation les coefficients et les racines.

Harriot, Girard et Descartes : vers la notation moderne

Les mathématiciens du début du XVII^e siècle simplifient et prolongent les notations de Viète. Thomas Harriot, dans l'Artis analyticae praxis publié en 1631, rend l'algèbre encore plus symbolique. La MAA souligne que Harriot, converti aux idées de Viète, étend ces idées en rendant les arguments algébriques plus manipulables symboliquement. [MAA-Harriot]

Albert Girard contribue aussi à l'évolution de la théorie des équations et affirme notamment qu'un polynôme de degré donné possède autant de racines que son degré, si l'on tient compte des multiplicités et des racines complexes dans un sens encore en construction.

Avec René Descartes, les notations se rapprochent fortement de celles que nous utilisons aujourd'hui. Dans la Géométrie de 1637, Descartes introduit la convention qui consiste à utiliser les premières lettres de l'alphabet, comme a, b, c, pour les grandeurs connues, et les dernières lettres, comme x, y, z, pour les inconnues. MacTutor, en citant notamment l'Oxford English Dictionary, rappelle que cette convention est due à Descartes et que l'hypothèse faisant venir x de l'arabe shay, « la chose », ne repose pas sur des preuves solides. [MacTutor-Var]

Repères chronologiques

Cette frise met en évidence le passage progressif d'une algèbre rédigée en phrases à une algèbre presque entièrement symbolique. Les dates ne correspondent pas à des ruptures nettes : les notations se superposent longtemps avant de se stabiliser.

Documents d'époque : voir les notations algébriques

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