Détails

Mis à jour : 14 Février 2016

Une liste des nombres premiers inférieurs à 1 000.

Détails

Mis à jour : 12 Septembre 2013

La numération babylonienne.

1. Le contexte Historique : Fabuleuse Babylone.

La ville de Babylone (en akkadien : Bāb-ili(m), en sumérien KÁ.DINGIR.RA, en arabe بابل Bābil, en araméen Babel ) est une ville antique de Mésopotamie située sur le célèbre fleuve Euphrate dans ce qui est aujourd'hui l'Irak. Carte actuelle

A environ 100 km au sud de l'actuelle Bagdad, près de la ville moderne de Hilla. À partir du début du II^ème millénaire av. J.-C., cette cité devient la capitale d'un royaume qui s'étend sur toute la Basse Mésopotamie et même au-delà. Elle connaît son apogée au VI^ème siècle av. J.-C. durant le règne de Nabuchodonosor II qui dirige alors un empire dominant une vaste partie du Moyen-Orient. Il s'agit à cette époque d'une des plus vastes cités au monde

La numération que forgèrent les mathématiciens et astronomes de Babylone un peu avant l'époque du roi Hammourabi (environ 1792-1750 av.J.-C.) était une numération de position en base 60.

Le roi Hammurabi de Babylone face au dieu Shamash, détail de la stèle du Code d'Hammourabi, 17e siècle av. J.-C.
(Musée du Louvre, Paris, France)

  {module [104]}

2. Une numération de position en base 60 (à l'aide de clous et de chevrons).

Les scribes babyloniens n'utilisaient que deux chiffres à proprement parler : un "clou" vertical représentant l'unité et un "chevron" associé au nombre 10.
Ces signes ont une graphie dite cunéiforme en raison de son aspect en forme de coins et de clous.
Les nombres de 1 à 59 étaient représentés d'une manière additive en répétant chacun de ces deux signes.

• Le 1 et le 10.

1et 10

• 19 s'écrivait : 1 chevron + 9 clous.

Au-delà de 59, l'écriture devenait positionnelle.

• Le nombre 69 par exemple s'écrivait : 69 = 1×60 + 9.

• Voici une tablette d'argile (2 400 ans av. J.-C.) en écriture cunéiforme où figurent clous et chevrons qui serons les chiffres de cette numération.

{module [104]}

3. Le premier zéro ?

Ils conçurent par la suite ( au 3e siècle av.J.-C.) un signe se présentant comme un double chevron incliné. Ce signe de séparation dans l'écriture des nombres est un véritable chiffre zéro dont l'utilisation était rendue obligatoire du fait de la structure du système de numération de position.
C'est le plus vieux zéro de l'histoire.

En effet, il fallait par exemple pouvoir différencier : 

Le 2   de 61 = 60×1 + 1      

Pendant très longtemps, les scribes les différencièrent en séparant nettement le premier clou du second, puis, ils introduisirent le signe :

 ou 

Cependant, ce zéro n'est pas conçu par les babyloniens comme une quantité.

Par exemple, dans un texte de l'époque, l'auteur ne sachant pas exprimer le résultat de la soustraction d'un nombre par lui-même, avait ainsi formulé sa conclusion :

"20 moins 20......tu vois."

Et dans un autre texte, on trouve par le résultat d'une distribution de grain :

"le grain est épuisé".

 {module [104]}

4. Les fractions dans la numération babylonienne.

=> Histoire des fractions.

 {module [104]} 

Détails

Mis à jour : 23 Mai 2014

Nombre de Bell (ou nombre exponentiel)

Définition. [HaSu]p27
Pour tout entier naturel n on appelle nombre de Bell ou nombre exponentiel, le nombre de partitions d'un ensemble à n éléments. 
Une partition d'un ensemble E est par définition un ensemble de parties non vides et disjointes deux à deux, dont la réunion est égale à l'ensemble E.
Ainsi si B_n désigne le nombre de partitions d'un ensemble ayant n éléments on a :

B₀ = 1 ; B₁ = 1 ; B₂ = 2 ; B₃ = 5 ; B₄ = 15 ; B₅ = 52 ; B₆ = 203 ... (Sloane's A000110)

Histoire.

L' écossais Eric Temple Bell (né le 7 février 1883 à Peterhead, Écosse et mort le 21 décembre 1960 à Watsonville, États-Unis) s'installe en 1903 aux États-Unis.
Il y poursuivit ses études commencées en Angleterre et obtient son doctorat en 1912 à l'université de Columbia sur un sujet concernant les polynômes cyclotomiques de degré 5.

La théorie des nombres sera l'objet principal de ses travaux, en particulier Algebraic Arithmetic (1927) où il introduit les nombres qui portent aujourd'hui son nom.

Cependant, le professeur B. C. Berndt (en Jan. 2010) de l'université de l'Illinois (USA), précise que la première véritable étude de ces nombres fut effectuée par le mathématiciens indien Ramanujan (22 décembre 1887 – 26 avril 1920) dans le chapitre 3 de son second livre, environ 25 ans avant Bell.

Propriété.

Le nombres de Bell vérifient la relation : 

Démonstration.

Soit {b₁, b₂, ..., b_n} un ensemble de n éléments à qui l'on adjoint un nouvel élément x : B = {b₁, b₂, ..., b_n} U {x}. Dans chaque partition de B, il existe une unique partie A contenant x. 

• Si Card A = 1, alors A = {x} et pour obtenir une partition de B, on complète par toutes les partitions de {b₁, b₂, ..., b_n}. Il y a donc B_n partitions de ce type.
• Si Card A = n, alors A = B = {b₁, b₂, ..., b_n, x}. Cette partition est unique.
• Si Card A = k, 1≤ k ≤ n - 1. 
  A est de la forme {x, b_j1, b_j2, ..., b_jn} où les j₁, j₂, ..., j_k sont distincts et compris entre 1 et n.
  Il y a autant de parties A de cette forme que de choix de k éléments parmi n, soit C_n^k possibilités. 
  Mais chaque partie ainsi construite doit être complétée pour obtenir une partition de B. Il reste n - k éléments constituant une partie F de B dont il s'agit de dénombrer toutes les partitions que l'on réunira à A. On peut donc associer à chacune des C_n^k possibilités, B_n-k partitions. 
  Il y a donc C_n^k B_n-k partitions contenant A.
• On a donc au total :

Détails

Mis à jour : 14 Février 2016

Les nombres premiers sont étudiés depuis la naissance même des mathématiques.

Fascinants et mystérieux, ils nous réservent encore bien des secrets.

Détails

Mis à jour : 4 Septembre 2012

Les Nombres Parfaits.

Un nombre parfait est un entier naturel égal à la somme de ses diviseurs propres. Ces nombre mythiques sont déjà étudiés par la Fraternité pythagoricienne.

• 6 est parfait car 6 = 1+2+3
• ainsi que 28 car 28 = 1+2+4+7+14

Dans "la cité de Dieu", Saint Augustin (354 - 430, Algérie) avançait que Dieu, bien qu'il eut pu créer le monde en un instant, avait décidé de lui consacrer 6 jours car :

 "6 est un nombre parfait en lui-même et non pas parce que Dieu a créé toutes les choses en 6 jours".

Quelques propriétés.

• PYTHAGORE de Samos (6^èmeav. J.-C.) observa que les nombres parfaits sont toujours la somme d'une série arithmétique.

  6       = 1+2+3 
  28     = 1+2+3+4+5+6+7 
  496    = 1+2+3+...+30+31
  8 128 = 1+2+3+...+126+127

• Euclide (4^ème siècle av. J.-C.) dans le Livre IX de ses Éléments, démontrait que :
  si M = 2^p - 1 est un nombre premier, alors  2^p-1(2^p - 1) est un nombre parfait.
  
  6         = 2 (2² - 1) 
  28       = 2² (2³ - 1) 
  496     = 2⁴ (2⁵ - 1)  
  8 128  = 2⁶ (2⁷ - 1)
  
  
• Le suisse Leonhard Euler (18^ème siècle), a prouvé que tout nombre parfait pair est de la forme proposée par Euclide soit 2^p-1(2^p - 1).
  
  
• La recherche de nombres parfaits pairs est donc liée à celle des nombres premiers de Mersenne (nombres premiers de la forme 2^p − 1).
  
  

A la recherche des nombres parfaits.

Les 4 premiers nombres parfaits sont connus depuis l'antiquité.
Il est impressionnant de constater qu'en plus de 2 000 ans de recherche, ce total n'est passé qu'à 47.

Les nombres parfaits connus sont les 47 nombres de Mersenne premiers.
Cependant, à partir du 41^ème, on ne sait pas s'il y a des nombres parfaits intermédiaires non encore découverts.

Les douze premiers nombres parfaits sont :

• P₁ = 6 = 1 + 2 + 3
  
  
• P₂ = 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
  
  
• P₃ = 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
  
  
• P₄ = 8 128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1 016 + 2 032 + 4 064
  
  
• P₅ = 33 550 336 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1 024 + 2 048 + 4 096 + 8 191 + 16 382 + 32 764 + 65 528 + 131 056 + 262 112 + 524 224 + 1 048 448 + 2 096 896 + 4 193 792 + 8 387 584 + 16 775 168
  
  
• P₆ = 8 589 869 056 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1024 + 2048 + 4096 + 8192 + 16384 + 32768 + 65536 + 131071 + 262142 + 524284 + 1048568 + 2097136 + 4194272 + 8388544 + 16777088 + 33554176 + 67108352 + 134216704 + 268433408 + 536866816 + 1073733632 + 2147467264 + 4294934528
  
  
• P₇ = 137 438 691 328 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1024 + 2048 + 4096 + 8192 + 16384 + 32768 + 65536 + 131072 + 262144 + 524287 + 1048574 + 2097148 + 4194296 + 8388592 + 16777184 + 33554368 + 67108736 + 134217472 + 268434944 + 536869888 + 1073739776 + 2147479552 + 4294959104 + 8589918208 + 17179836416 + 34359672832 + 68719345664
  
  
• P₈ = 2 305 843 008 139 952 128
  
  
• P₉ = 2 658 455 991 569 831 744 654 692 615 953 842 176
  
  
• P₁₀ = 191 561 942 608 236 107 294 793 378 084 303 638 130 997 321 548 169 216
  
  
• P₁₁ = 13 164 036 458 569 648 337 239 753 460 458 722 910 223 472 318 386 943 117 783 728 128
  
  
• P₁₂ = 14 474 011 154 664 524 427 946 373 126 085 988 481 573 677 491 474 835 889 066 354 349 131 199 152 128

Détails

Mis à jour : 30 Septembre 2025

Les nombres de Mersenne
Les nombres de Mersenne portent le nom d'un religieux français du 17^e siecle. Ils sont étudiés depuis l'antiquité et recèlent encore bien des mystères.

Détails

Mis à jour : 19 Août 2019

Les Nombres Remarquables

Nombre Abondant

Nombre qui est inférieur strictement à la somme de ses parties propre (ex : 12, 18, 20...). Étudié par la Fraternité pythagoricienne.

• Ex.: 12 est abondant car 12 < 1+2+3+4+6 = 16

Nombre algébrique

Nombre qui est solution d'une équation polynômiale à coefficients rationnels.(i.e. nombre qui appartient à l'ensemble des racines de Q[x]). Découvert par Niels Abel en 1825.

• Ex. : 2/3 est algébrique car racine de l'équation 3x-2  =0, mais e et pi ne le sont pas.

Détails

Mis à jour : 8 Décembre 2014

Le Zéro, tout une histoire
Univers sciences et Le Monde proposent une petite vidéo amusante mais assez incomplète sur l'histoire du zéro, l'occasion pour nous de revenir sur la génèse de ce nombre mystérieux !

Détails

Mis à jour : 13 Juin 2026

La numération grecque désigne plusieurs façons d'écrire les nombres dans la Grèce antique. Les historiens distinguent notamment le système attique, fondé sur des signes additifs, et le système ionique, qui associe des valeurs numériques aux lettres de l'alphabet grec.

Cette page présente les grands principes de ces systèmes, leurs exemples d'écriture, la numération d'Archimède, les fractions grecques et l'usage de l'abaque.

Détails

Mis à jour : 10 Août 2012

Exemple de calcul digital.

---

De nombreuses civilisation ont ainsi développé de complexes "cartographie corporelles numériques" accompagnées de grammaires gestuelles.
Le calcul digital permettait d'ailleurs au XVIe siècle, en chine de dépasser le milliard !

Document tiré de la Summa arithmética de PACIOLI Lucas (San Sepolcro vers 1445 - Rome 1517), Italie.
Calcul digital du Haut Moyen Âge.