Les fractions : origines, notations et symboles
Partager une unité en parts égales paraît aujourd'hui naturel. Pourtant, l'écriture d'une fraction sous la forme \(\dfrac{a}{b}\), avec un numérateur, un dénominateur et une barre horizontale, est le résultat d'une longue histoire : Mésopotamie, Égypte, Inde, monde arabe puis Europe médiévale.
Repères chronologiques
Les fractions ne sont pas apparues sous une forme unique. Selon les périodes et les civilisations, on rencontre des écritures sexagésimales, des fractions unitaires, des écritures verticales sans barre, puis la barre horizontale et les écritures décimales.
| Période | Repère | Ce qui change dans l'écriture des fractions |
|---|---|---|
| IIe millénaire av. J.-C. | Babylone | Fractions sexagésimales en base 60, très efficaces pour l'astronomie, les mesures et les calculs de table. |
| vers 1650 av. J.-C. | Égypte, papyrus de Rhind | Usage systématique de fractions unitaires, c'est-à-dire de fractions de la forme \(\dfrac{1}{n}\). |
| VIIe-XIIe siècles | Mathématiques indiennes | Numérateur placé au-dessus du dénominateur, mais généralement sans barre séparatrice. |
| XIIe siècle | Monde arabe, Al-Hassar | Attestation importante de la barre horizontale séparant numérateur et dénominateur. |
| 1202 | Fibonacci, Liber abaci | Diffusion européenne de la barre de fraction et des méthodes de calcul indo-arabes. |
| XVe-XVIe siècles | Imprimerie et arithmétiques pratiques | La barre horizontale se généralise, mais son emploi reste parfois irrégulier pour des raisons typographiques. |
| XVe-XVIe siècles | Al-Kashi puis Stevin | Développement des fractions décimales : l'écriture en base 10 devient un outil de calcul très puissant. |
| XIXe siècle | Solidus \(/\) | La barre oblique \(a/b\) s'impose peu à peu comme notation commode sur une seule ligne. |
Définition actuelle d'une fraction
Une fraction est une écriture de la forme :
$$ \dfrac{a}{b} $$où \(a\) et \(b\) sont deux entiers, avec \(b\ne 0\). Elle représente le quotient de \(a\) par \(b\). Le nombre ainsi représenté est un nombre rationnel.
Définition moderne. L'ensemble des nombres rationnels est l'ensemble des nombres qui peuvent s'écrire comme quotient de deux entiers, avec un dénominateur non nul :
$$ \mathbb{Q}=\left\{\dfrac{a}{b}\; ;\; a\in\mathbb{Z},\ b\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}\right\}. $$La lettre \(\mathbb{Q}\) renvoie à l'idée de quotient. Ainsi, \(\dfrac{3}{4}\), \(-\dfrac{7}{5}\), \(2=\dfrac{2}{1}\) et \(0=\dfrac{0}{1}\) sont des nombres rationnels.
- Le nombre \(a\) est appelé le numérateur : il indique combien de parts on prend.
- Le nombre \(b\) est appelé le dénominateur : il indique en combien de parts égales l'unité est partagée.
- Une fraction dont le numérateur vaut 1 est appelée une fraction unitaire, par exemple \(\dfrac{1}{3}\), \(\dfrac{1}{7}\), \(\dfrac{1}{20}\).
Qui a introduit la notation \(\mathbb{Q}\) ?
La notation moderne \(\mathbb{Q}\) pour l'ensemble des rationnels est habituellement expliquée par l'initiale de quotient. L'histoire est cependant plus nuancée : Giuseppe Peano utilise dès 1895 plusieurs lettres pour désigner des ensembles de nombres, mais son usage de \(Q\) ne correspond pas exactement à notre notation moderne de l'ensemble des rationnels. MacTutor indique ainsi qu'en 1895 Peano emploie \(R\) pour les rationnels positifs et \(r\) pour les rationnels, tandis que \(Q\) désigne alors des quantités ou nombres réels positifs. [MacTutor-NT]
La notation en lettre double \(\mathbb{Q}\), devenue standard pour le corps des rationnels, est généralement rattachée à la tradition de Nicolas Bourbaki ; MathWorld signale son apparition dans l'Algèbre de Bourbaki. [MathWorld-Q]
Attention. Une même valeur rationnelle peut avoir plusieurs écritures fractionnaires : par exemple \(\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}\). Une fraction est donc à la fois une écriture et une façon de représenter un partage ou un quotient.
Origine du mot fraction
Le mot fraction vient du latin fractio, lié au verbe frangere, qui signifie « casser », « briser ». Une fraction est donc, étymologiquement, une unité brisée en morceaux. Cette image reste très pédagogique : dans \(\dfrac{3}{5}\), l'unité est partagée en cinq parts égales et l'on en prend trois.
Le mot fraction garde la mémoire d'une image concrète : on ne crée pas un nouveau nombre à partir de rien, on découpe une unité. C'est pourquoi les fractions ont longtemps été liées à des problèmes très pratiques : mesurer des longueurs, partager du pain, répartir des terres, peser du grain ou calculer des taxes.
Les Babyloniens : fractions sexagésimales
Les premières civilisations dont nous possédons des sources mathématiques importantes sont notamment les civilisations mésopotamienne et égyptienne. Les mathématiciens et astronomes de Babylone utilisaient une numération de position en base 60, appelée numération sexagésimale. Cette base facilitait l'écriture de nombreuses fractions, car 60 possède de nombreux diviseurs : \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(6\), \(10\), \(12\), \(15\), \(20\), \(30\) et \(60\).
On retrouve encore aujourd'hui cet héritage dans la mesure du temps et des angles : 1 heure compte 60 minutes, 1 minute compte 60 secondes, et un tour complet mesure 360 degrés.
Pour approfondir le système lui-même, on peut consulter la page Math93 sur la numération babylonienne.
Une approximation remarquable de \(\sqrt{2}\)
La tablette babylonienne YBC 7289, conservée dans la collection babylonienne de Yale, contient une approximation sexagésimale célèbre de \(\sqrt{2}\). On y lit le nombre :
$$ 1~;~24,51,10 $$En base 60, cela signifie :
$$ 1+\dfrac{24}{60}+\dfrac{51}{60^2}+\dfrac{10}{60^3}. $$Cette valeur donne environ \(1{,}41421296\), une approximation extrêmement précise de \(\sqrt{2}\). La tablette YBC 7289 est généralement datée de la période paléo-babylonienne, autour de 1800-1600 av. J.-C. [MAA-YBC] [CDLI]
La base 60 est très commode pour les fractions car 60 possède beaucoup de diviseurs. On peut donc partager une unité en demis, tiers, quarts, cinquièmes, sixièmes, dixièmes, douzièmes, quinzièmes, vingtièmes ou trentièmes sans obtenir immédiatement des écritures compliquées. Cela explique en partie pourquoi la base 60 a laissé une trace durable dans nos horloges, nos angles et les calculs astronomiques.
Le système babylonien n'était cependant pas encore un système de position parfaitement moderne : l'absence initiale d'un symbole de zéro pouvait créer des ambiguïtés. Dans les tablettes plus récentes, un signe séparateur apparaît pour marquer une position vide, sans être encore un zéro au sens moderne.
Les fractions égyptiennes
Les mathématiques égyptiennes utilisaient une manière très particulière d'écrire les fractions. En dehors de quelques fractions spéciales comme \(\dfrac{2}{3}\) ou \(\dfrac{3}{4}\), les Égyptiens privilégiaient les fractions unitaires, c'est-à-dire les fractions de numérateur 1.
Une fraction égyptienne est donc une somme de fractions unitaires distinctes. Par exemple :
$$ \dfrac{2}{5}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{15}. $$La page Math93 dédiée aux fractions égyptiennes donne une présentation détaillée de cette méthode et rappelle qu'une fraction égyptienne est une somme de fractions unitaires, avec des dénominateurs positifs distincts. Sur cette page, Math93 indique par exemple que \(\dfrac{2}{5}=\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{30}\) est aussi une écriture égyptienne possible. [Math93-FE]
Le papyrus de Rhind
Le papyrus de Rhind, copié par le scribe Ahmès vers 1650 av. J.-C., est l'une des principales sources sur les mathématiques égyptiennes. Il contient notamment une table de décomposition des fractions de la forme \(\dfrac{2}{n}\), ainsi qu'une série de problèmes pratiques.
Dans l'arithmétique égyptienne, on ne manipulait pas les fractions comme nous le faisons aujourd'hui. Au lieu d'écrire directement \(\dfrac{3}{7}\), on cherchait à la décomposer en somme de fractions unitaires. Cette contrainte paraît étrange, mais elle donne naissance à de très beaux problèmes d'arithmétique.
Pourquoi les fractions égyptiennes intéressent encore les mathématiciens ?
Parce qu'elles posent des questions simples à énoncer mais parfois difficiles : comment décomposer une fraction rationnelle positive en somme de fractions unitaires distinctes ? Peut-on minimiser le nombre de termes ? Existe-t-il une méthode efficace ? Ces questions relient l'histoire des mathématiques à la théorie des nombres.
Notation indienne : numérateur et dénominateur sans barre
Notre manière d'écrire les fractions ordinaires est souvent rapprochée des pratiques indiennes : le numérateur et le dénominateur sont placés l'un au-dessus de l'autre, mais sans la barre horizontale moderne. L'historien David Eugene Smith juge probable que cette méthode d'écriture des fractions soit essentiellement due aux mathématiciens indiens. [Smith2]
Des mathématiciens indiens comme Brahmagupta et Bhaskara écrivent ainsi des fractions sous une forme proche de la nôtre, mais sans le trait qui sépare aujourd'hui le numérateur du dénominateur. Cajori précise que les Hindous plaçaient fréquemment le diviseur, ou le dénominateur, sous le dividende ou sous le numérateur : l'empilement existait donc avant la barre horizontale. [CajoV1]
Il peut sembler évident qu'une fraction ait une barre. Pourtant, placer deux nombres l'un au-dessus de l'autre suffit déjà à suggérer une division. La barre horizontale viendra plus tard renforcer la lecture et éviter les ambiguïtés.
La barre horizontale de fraction
La barre de fraction horizontale marque une étape décisive dans l'histoire des notations. Elle sépare visuellement le numérateur du dénominateur et rend la structure de la fraction immédiatement lisible.
Plusieurs sources attribuent un rôle important au mathématicien marocain Al-Hassar Abu Bakr, autour du XIIe siècle. Cajori relève qu'Al-Hassar décrit une notation où les dénominateurs sont placés sous une ligne horizontale et les numérateurs au-dessus. Il y voit l'une des plus anciennes attestations connues de la barre de fraction, tout en laissant ouverte la question de savoir si Fibonacci ne l'aurait pas précédé ou utilisée indépendamment à partir de sources arabes. [CajoV1] [Math93-AlHassar]
Nuance historique. Dire que la barre horizontale a été « inventée » une fois pour toutes par un seul auteur serait trop simple. MacTutor rappelle que des traits horizontaux séparant ou délimitant numérateur et dénominateur sont attestés dans des papyrus démotiques bien plus anciens. Le rôle d'Al-Hassar est surtout important dans la tradition symbolique médiévale et dans la transmission de la notation qui deviendra familière en Europe. [MacTutor]
D'après Cajori, Al-Hassar utilise une écriture du type :
$$ \dfrac{3\quad 1}{5\quad 3} $$Cajori donne ainsi un exemple d'écriture composée où plusieurs numérateurs sont placés au-dessus d'une même ligne et plusieurs dénominateurs au-dessous. Ce n'est pas encore exactement notre notation scolaire, mais on reconnaît déjà la puissance du trait horizontal pour organiser la lecture numérateur / dénominateur.
Le mot « vinculum »
La barre horizontale est parfois appelée vinculum. Ce mot latin signifie « lien ». Il a aussi été utilisé pour désigner une barre servant à grouper des termes, pas seulement une barre de fraction. MacTutor indique également que Fibonacci utilise le mot latin virga pour la barre horizontale de fraction. [MacTutor]
Fibonacci et la diffusion en Europe
Fibonacci, ou Léonard de Pise, joue un rôle essentiel dans la diffusion en Europe des méthodes de calcul issues du monde méditerranéen. Math93 rappelle dans l'index des mathématiciens que Fibonacci contribue fortement à la diffusion des chiffres indo-arabes et des méthodes de calcul en Europe. [Math93-Fib]
Dans le Liber Abaci, publié en 1202, Fibonacci popularise en Occident des méthodes de calcul héritées des mathématiques arabes et indiennes. Cajori cite même un passage latin où Fibonacci explique que le nombre placé au-dessus de la ligne désigne le numérateur et celui placé au-dessous le dénominateur. La barre de fraction n'est donc pas seulement un dessin : elle fixe une véritable convention de lecture. [CajoV1]
Cajori ajoute un détail très intéressant : chez Fibonacci, comme chez les auteurs arabes dont il s'inspire, certains nombres mixtes se lisent encore de droite à gauche, avec l'entier placé à droite de la fraction. Les manuscrits latins postérieurs tendront progressivement vers notre lecture de gauche à droite. [CajoV1]
La fraction moderne n'est pas née dans un seul pays. Son écriture est un carrefour : empilement indien, transmission arabe, usage chez Al-Hassar, puis diffusion européenne avec Fibonacci et les manuscrits latins du Moyen Âge.
Imprimerie, barre oblique et notations modernes
La barre horizontale est généralement présente dans les manuscrits latins de la fin du Moyen Âge. Mais avec l'arrivée de l'imprimerie, elle est souvent omise, probablement pour des raisons typographiques : composer une fraction avec numérateur, barre et dénominateur demande davantage d'espace et de complexité technique. MacTutor cite notamment l'exemple de Christoff Rudolff, dont la Künstliche Rechnung de 1526 omet souvent la barre dans les fractions ordinaires, tout en la conservant pour de grandes fractions ou des fractions mises en évidence. [MacTutor]
Plus tard, la barre oblique, appelée aussi solidus, s'impose dans certains contextes parce qu'elle est plus facile à écrire sur une seule ligne : \(3/5\), \(7/12\), \(a/b\). Cajori explique que la fraction posée sur trois niveaux est peu pratique pour l'impression courante ; le solidus ramène tout sur une seule ligne typographique. [CajoV1]
Cette notation n'apparaît pas d'un seul coup. Cajori signale qu'Augustus De Morgan la recommande dans l'Encyclopaedia Metropolitana au XIXe siècle, mais il relève aussi des usages plus anciens en Amérique espagnole. La barre oblique devient ensuite une solution commode pour les textes, les tables et, beaucoup plus tard, les écritures numériques. [CajoV1]
La notation \(\dfrac{a}{b}\) est très lisible, mais elle occupe trois niveaux : le numérateur, la barre, le dénominateur. Pour un imprimeur, c'est plus coûteux et moins fluide qu'une écriture sur une seule ligne. Le solidus \(a/b\) est donc aussi une réponse matérielle à un problème de mise en page.
Quelques symboles particuliers pour les fractions simples
Cajori rappelle aussi que les fractions les plus fréquentes, comme \(\dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{1}{4}\) ou \(\dfrac{3}{4}\), ont parfois reçu des signes particuliers dans les manuscrits et les usages imprimés. Ce phénomène est logique : les fractions usuelles sont celles que l'on écrit le plus souvent dans les mesures, les monnaies, les partages et les calculs commerciaux.
Ces signes particuliers ont presque tous disparu au profit de la notation générale \(\dfrac{a}{b}\), plus abstraite mais beaucoup plus souple.
Fractions décimales : de la base 60 à la base 10
L'histoire des fractions ordinaires croise aussi celle des fractions décimales. Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10, par exemple :
$$ \dfrac{3}{10},\qquad \dfrac{47}{100},\qquad \dfrac{125}{1000}. $$Elle permet d'écrire les nombres sous forme décimale : \(\dfrac{47}{100}=0{,}47\). Ce passage de la fraction à l'écriture décimale est essentiel : il transforme le calcul des parts en calcul de position, exactement comme les chiffres indo-arabes avaient transformé l'écriture des entiers.
Les Babyloniens avaient privilégié la base 60, très efficace pour les partages et l'astronomie. Les fractions décimales s'appuient sur une autre idée : prolonger vers la droite la numération de position en base 10. On passe alors des unités aux dixièmes, centièmes, millièmes, etc.
Dans le monde islamique médiéval, plusieurs auteurs utilisent ou décrivent des procédés proches des fractions décimales. La tradition attribue notamment à Al-Kashi, dans la Clé de l'arithmétique, une description particulièrement claire des fractions décimales. [MacTutor-AlKashi] [MacTutor-Dec]
En Europe, Simon Stevin joue un rôle décisif avec De Thiende, publié en 1585, traduit en français sous le titre La Disme. Son idée est de montrer que l'on peut effectuer de nombreux calculs pratiques avec des nombres décimaux, sans revenir sans cesse aux fractions ordinaires. Cajori rappelle cependant que la notation de Stevin n'est pas encore notre notation décimale actuelle : elle utilise des marques indiquant les rangs décimaux. [CajoV1]
Pourquoi les fractions décimales sont-elles une révolution pratique ?
Avec une fraction ordinaire, additionner \(\dfrac{3}{8}\) et \(\dfrac{5}{12}\) demande de chercher un dénominateur commun. Avec des fractions décimales, on peut aligner les chiffres par rangs : dixièmes, centièmes, millièmes. Cette idée rend les calculs plus réguliers et prépare l'usage moderne des nombres décimaux dans les mesures, les sciences, le commerce et les calculatrices.
La notation décimale moderne est donc l'héritière de deux histoires : celle des fractions, qui expriment un quotient, et celle de la numération de position, qui organise les chiffres selon leur rang.
Documents anciens à consulter
Plusieurs manuscrits ou livres anciens permettent de voir les notations évoquées dans cette page. Par prudence, Math93 privilégie ici des liens vers les institutions ou bibliothèques numériques plutôt qu'une reprise directe des images, car les droits de reproduction varient selon les collections.
| Document | Ce qu'il permet d'observer | Lien |
|---|---|---|
| Papyrus Rhind Égypte ancienne |
Un document majeur pour les fractions égyptiennes : tables de divisions, multiplications, problèmes numériques et manipulations de fractions unitaires. | British Museum [BM] |
| Tablette YBC 7289 Babylone |
Un exemple célèbre de notation sexagésimale babylonienne, avec l'approximation de \(\sqrt{2}\) sous la forme \(1;24,51,10\). | MAA Convergence [MAA-YBC] |
| Kitāb al-Bayān d'Al-Hassar tradition arabe puis hébraïque |
Une attestation importante de la barre horizontale de fraction, dans la tradition de calcul transmise en Méditerranée médiévale. | MAA Convergence [MAA-AlHassar] |
| Liber Abaci de Fibonacci Europe, XIIIe siècle |
Un témoin essentiel de la diffusion occidentale des chiffres indo-arabes et des méthodes de calcul venues du monde méditerranéen. | Museo Galileo / BNCF [Museo] |
| De Thiende de Simon Stevin 1585 |
Un document-clé pour l'histoire des fractions décimales et la promotion du calcul décimal en Europe moderne. | DBNL [DBNL] |
Liens Math93 utiles
Pour prolonger la lecture
Sources et références utilisées
Les références ci-dessous reprennent le format bibliographique utilisé sur Math93 : auteur, titre, éditeur ou organisme, lieu, année, et date de consultation pour les ressources en ligne.
- [CajoV1] : CAJORI Florian, A History of Mathematical Notations, vol. I, Notations in Elementary Mathematics, The Open Court Publishing Company, Chicago, 1928 ; rééd. Cosimo Classics, New York, 2007. Voir notamment les paragraphes 235 et 271-275 sur les fractions ordinaires, la barre horizontale et le solidus.
- [Smith2] : SMITH David Eugene, History of Mathematics, vol. II, Ginn and Company, Boston, 1925.
- [Burton] : BURTON David M., The History of Mathematics: An Introduction, William C. Brown, Dubuque, Iowa, 1988.
- [MacTutor] : MILLER Jeff, Earliest Uses of Symbols for Fractions [en ligne], MacTutor History of Mathematics, School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, consulté le 13 juin 2026. Disponible sur : https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Miller/mathsym/fractions/.
- [MacTutor-AlKashi] : O'CONNOR John J., ROBERTSON Edmund F., Al-Kashi [en ligne], MacTutor History of Mathematics, School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, consulté le 13 juin 2026. Disponible sur : https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Al-Kashi/.
- [MacTutor-Dec] : MILLER Jeff, Earliest Uses of Symbols for Fractions, section sur les fractions décimales [en ligne], MacTutor History of Mathematics, School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, consulté le 13 juin 2026. Disponible sur : https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Miller/mathsym/fractions/.
- [MAA-YBC] : BEERY Janet L., SWETZ Frank J., The Best Known Old Babylonian Tablet? [en ligne], Convergence, Mathematical Association of America, consulté le 13 juin 2026. Disponible sur : https://old.maa.org/press/periodicals/convergence/the-best-known-old-babylonian-tablet.
- [CDLI] : Cuneiform Digital Library Initiative, MCT 042 YBC 07289 (P255048) [en ligne], consulté le 13 juin 2026. Disponible sur : https://cdli.earth/artifacts/255048.
- [Math93-Bab] : MATH93, La Numération Babylonienne [en ligne], consulté le 13 juin 2026. Disponible sur : https://www.math93.com/index.php/histoire-des-maths/les-nombres-histoire-et-numerations/la-numeration-babylonienne.
- [Math93-FE] : MATH93, Les Fractions égyptiennes [en ligne], consulté le 13 juin 2026. Disponible sur : https://www.math93.com/index.php/histoire-des-maths/les-developpements/les-fractions-egyptiennes.
- [Math93-AlHassar] : MATH93, AL-HASSAR Abu Bakr [en ligne], consulté le 13 juin 2026. Disponible sur : https://www.math93.com/index.php/histoire-des-maths/mathematiciens-articles/al-hassar-abu-bakr.
- [Math93-Fib] : MATH93, Mathématiciens E-G : Fibonacci Leonardo ou Léonard de Pise [en ligne], consulté le 13 juin 2026. Disponible sur : https://www.math93.com/index.php/histoire-des-maths/mathematiciens-e-g-biographies-et-histoire-des-mathematiques#fibonacci-leonardo.
- [MacTutor-NT] : MILLER Jeff, Earliest Uses of Symbols of Number Theory [en ligne], MacTutor History of Mathematics, School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, consulté le 13 juin 2026. Disponible sur : https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Miller/mathsym/nth/.
- [MathWorld-Q] : WEISSTEIN Eric W., Q [en ligne], MathWorld--A Wolfram Resource, consulté le 13 juin 2026. Disponible sur : https://mathworld.wolfram.com/Q.html.
- [BM] : BRITISH MUSEUM, Rhind Mathematical Papyrus, EA10058 [en ligne], consulté le 13 juin 2026. Disponible sur : https://www.britishmuseum.org/collection/object/Y_EA10058.
- [MAA-AlHassar] : PFEFFER Jeremy I., Moses ibn Tibbon's Hebrew Translation of al-Hassar's Kitab al-Bayan [en ligne], Convergence, Mathematical Association of America, consulté le 13 juin 2026. Disponible sur : https://old.maa.org/press/periodicals/convergence/moses-ibn-tibbon-s-hebrew-translation-of-al-hassars-kitab-al-bayan.
- [Museo] : MUSEO GALILEO, Fibonacci's Liber abbaci published online [en ligne], 20 novembre 2020, consulté le 13 juin 2026. Disponible sur : https://www2.museogalileo.it/en/news-archive/149-news-archive-2020/2031-leonardo-fibonacci-liber-abbaci-on-line.html.
- [DBNL] : STEVIN Simon, De Thiende [en ligne], DBNL, consulté le 13 juin 2026. Disponible sur : https://www.dbnl.org/tekst/stev001thie01_01/stev001thie01_01_0005.php.