Une Histoire des Mathématiques

Terminale : Lois de probabilité à densité

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Lois de probabilité à densité

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Terminale : Intégration

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Maths secondeTerminale Spécialité Maths : Intégration

 

Le chapitre traite des thèmes suivants : intégration

 Intégrale sur l'intervalle [a ; b]

 

Un peu d'histoire de l'intégration

Archimède, le père fondateur !
L'intégration prend naissance dans les problèmes d'ordre géométrique que se posaient les Grecs : calculs d'aires (ou quadratures), de volumes, de longueurs (rectifications), de centres de gravité, de moments. Les deux pères de l'intégration sont Eudoxe de Cnide (- 408 ; - 355) et le légendaire savant sicilien, Archimède de Syracuse (-287 ; -212).

Archimède de Syracuse (-287 ; -212)Archimède (-287 , -212)

On attribue à Eudoxe, repris par Euclide, la détermination des volumes du cône et de la pyramide. Le travail d'Archimède est bien plus important : citons, entre autres, la détermination du centre de gravité d'une surface triangulaire, le rapport entre aire et périmètre du cercle, le volume et l'aire de la sphère, le volume de la calotte sphérique, l'aire du « segment » de parabole, délimité par celle-ci et une de ses cordes.

Les européens
Les mathématiciens Européens du17e siècle vont partir de l'oeuvre d'Archimède. Ils vont utiliser conjointement les méthodes rigoureuses et apagogiques (par l'absurde) d'Archimède, et, les indivisibles. Par l'une ou l'autre de ces méthodes, Cavalieri (1598-1647), Torricelli (1608-1647), Roberval (1602-1675), Fermat (1601-1665) réalisent de nombreuses quadratures, en particulier celle de l'aire sous la courbe d'équation ci-dessous jusqu'à l'abscisse a.

$$y = x^n ~~;~~n \in \mathbb{N}$$

Le savant français Blaise Pascal (1623-1662) prolonge les calculs et fournit quelques avancées manifestes.

Newton et Leibniz
Le calcul infinitésimal va alors se développer sous l'influence des deux mathématiciens et physiciens, l'anglais Newton (1643-1727) et allemand Leibniz (1646-1716). Indépendamment l'un de l'autre, inventent des procédés algorithmiques ce qui tend à faire de l'analyse dite infinitésimale, une branche autonome des mathématiques. Newton publie en 1736 sa méthode la plus célèbre, la méthode des fluxionse et des suites infinies.

Les notations mathématiques liées à l'intégration

  • La première notation de Leibniz pour l'intégrale fut d'abord omn. (omnes = tout), puis rapidement, celle qu'il nous a léguée, S, initiale de Somme, qu'il utilise conjointement au fameux « dx », souvent considéré comme un infiniment petit.
  • Le mot « intégrale » est dû à son disciple Jean Bernoulli (lettre à Leibniz du 12. 2. 1695).
  • La notation \(\displaystyle \int_{a}^{x}\)  est due à Fourier (1768-1830).

Le Théorème fondamentale

  • Théorème (simplifié) : Si \(f\) est continue sur un intervalle \(I\) alors la fonction \(F\) définie ci-dessous est dérivable sur \(I\) et sa dérivée est \(f\). Pour \(a\) et \(x\) de \(I\) :

$$F(x)=\displaystyle \int_{a}^{x} f(t)~\text{dt} \Longrightarrow F'(x)=f(x)$$

Le premier énoncé (et sa démonstration) d'une forme partielle du théorème fut publié par James Gregory en 1668. Isaac Barrow en démontra une forme plus générale, mais c'est Isaac Newton (élève de Barrow) qui acheva de développer la théorie mathématique englobant le théorème. Gottfried Leibniz systématisa ces résultats sous forme d'un calcul des infinitésimaux, et introduisit les notations toujours actuellement utilisées.

Vers une définition rigoureuse
L'intégrale telle que nous la concevons aujourd'hui (au lycée) est celle dite de Riemann, du nom du mathématicien allemand Bernhard Riemann (1826-1866), qui énonce une définition rigoureuse dans un ouvrage de 1854, mais qui sera publié à titre posthume en 1867.
L'intégrale de Lebesgue (Henri Lebesgue, 1902) est elle abordée en post-bac et permet de généraliser le concept d'intégrale de Riemann.

Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 - 1866)Bernhard Riemann (1826-1866)

 

T.D. : Travaux Dirigés sur l'Intégration

 

Cours sur l'intégration

{youtube}https://youtu.be/pFKzXZrMVxs {/youtube}

 

D.S. sur l'intégration

 

 

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Terminale : La Fonction Logarithme Népérien

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Maths seconde
Terminale Spécialité Maths
La Fonction Logarithme Népérien

 

Le chapitre traite des thèmes suivants : La Fonction Logarithme Népérien

604px Logarithme neperien.svg

 

 

Un peu d'histoire

  1. Du produit à la somme.
    Vers la fin du 16e siècle, les mathématiciens à chercher des méthodes de simplifications de calculs qui sont alors extrêmement fastidieux, en astronomie, finance et en navigation. On aimerait trouver un moyen de remplacer les multiplications par des additions, opérations bien plus aisées.

  2. Avec des relations trigonométriques.
    Utilisant les tables trigonométriques, les mathématiciens Paul Wittich (1546—1586) et Christophe Clavius (dans son traité de Astrolabio) établissent des correspondances entre produit et somme, pour des nombres inférieurs à 1 à l'aide de relations trigonométriques.

 $$\sin a\times \cos b = \dfrac{\sin(a-b)+\sin(a+b)}{2}$$

  1. Tables logarithmiques.

    Cette méthode est remplacée quelques années plus tard par les tables logarithmiques.
    Simon Stévin, intendant général de l'armée hollandaise, met au point des tables de calculs d'intérêts composés. Ce travail est poursuivi par Jost Bürgi qui publie en 1620, une table de correspondance entre \(n\) et \(1,0001^n\).
     

  2. Les tables de Nepper.
    Le logarithme est appelé népérien, en hommage au mathématicien écossais John Napier (1550-1617) qui établit les premières tables logarithmiques.
    En 1614, John Napier (ou Neper) publie son traité Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio dans lequel il établit des tables de correspondances (logos = rapport, relation, arithmeticos = nombre) entre deux séries de valeurs possédant la propriété suivante :

"à un produit dans une colonne correspond une somme dans une autre."

Ces tables de correspondances ont été créées initialement pour simplifier les calculs trigonométriques apparaissant dans les calculs astronomiques et seront utilisées quelques années plus tard par l'astronome Johannes Kepler (ou Keppler, 1571-1630)  célèbre pour avoir étudié l’hypothèse héliocentrique de Nicolas Copernic et découvert la trajectoire elliptique des planètes.
En 1619, apparaît une œuvre posthume de Neper, Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio, où il explique comment construire une table de logarithmes.

John NapierJohn Napier (1550-1617)

  1. Le travail de napier est poursuivi et prolongé par le mathématicien anglais Henry Briggs qui publie en 1624 ses tables de logarithmes décimaux (Arithmetica logarithmica) et précise les méthodes d’utilisation des tables pour calculer des sinus, retrouver des angles de tangente...
    Le logarithme décimal est parfois appelé logarithme de Briggs en son honneur. La table de Briggs présente les logarithmes à 14 chiffres des nombres compris entre 1 et 20 000 et entre 90 000 et 100 000. Son travail est complété par Ezechiel de Decker et Adriaan Vlacq qui publient en 1627 une table de logarithmes complète.

  2. La quadrature de l'hyperbole.
    On date en général l'origine des logarithmes népériens en 1647, lorsque le mathématicien jésuite Grégoire de Saint-Vincent (1584-1667) travaille sur la quadrature de l'hyperbole, c'est à dire la recherche de l'aire comprise entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équations \(x = a\) et \(x = 1\).
    Il démontre que la fonction obtenue vérifie la propriété d'additivité des fonctions logarithmes : \(L(ab) = L(a) + L(b)\) si l'on appelle \(L(a)\) l'aire entre 1 et a, rangeant cette aire dans la famille de fonctions logarithmes. 
    Saint-Vincent ne voit cependant pas de lien avec les logarithmes de Napier, et c'est son disciple Alphonse Antoine de Sarasa qui l'expliquera en 1649.

Gregoire de St Vincent Quadrature Hyperbole

  1. La série de Mercator.
    Le logarithme népérien s'est tout d'abord appelé logarithme hyperbolique, en référence à l'aire sous l'hyperbole qu'il représente.
    L'appelation logarithme naturel apparaît pour la première fois en 1668, dans une note de Nicolaus Mercator sur la série qui porte son nom.

    En 1668, dans Logarithmotecnia, il trouve l'aire de l'hyperbole en développant en série géométrique 1/(1+x) puis, en intégrant terme à terme comme l'anglais WALLIS John (1616-1703), il obtient le développement de la série qui porte son nom mais qui fut obtenue par Sir Isaac Newton (1643 – 1727) en 1665. [Dieudo] p 123

    La série de Mercator est définie par :

    $$ln (1 + x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} -\dfrac{x^4}{4} \cdots$$
    Cette série, exploitée par Newton en 1671, permet de calculer assez simplement les valeurs du logarithme de Grégoire de Saint-Vincent. 
     
  2. La notion de fonction.
    La notion de fonction, la correspondance entre les fonctions exponentielles et les fonctions logarithmes n’apparaissent que plus tardivement après le travail de Leibniz sur la notion de fonction (1697).

 

T.D. : Travaux Dirigés sur La Fonction Logarithme Népérien

 

Cours sur La Fonction Logarithme Népérien

 

D.S. sur La Fonction Logarithme Népérien

 

 

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Terminale S : La Fonction Exponentielle

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Maths seconde
Terminale S : La Fonction Exponentielle

 

Le chapitre traite des thèmes suivants : fonction exponentielle

fonction expo

 

Un peu d'histoire

La naissance de la fonction exponentielle se produit à la fin du XVIIe siècle. L'idée de combler les trous entre plusieurs puissances d'un même nombre est très ancienne. Ainsi trouve-t-on dans les mathématiques babyloniennes un problème d'intérêts composés où il est question du temps pour doubler un capital placé à 20 %.

Puis le mathématicien français Nicolas Oresme (1320-1382) dans son De proportionibus (vers 1360) introduit des puissances fractionnaires. Nicolas Chuquet, dans son Triparty (1484), cherche des valeurs intermédiaires dans des suites géométriques en utilisant des racines carrées et des racines cubiques et Michael Stifel, dans son Arithmetica integra (1544) met en place les règles algébriques sur les exposants entiers, négatifs et même fractionnaires.

Il faut attendre 1694 et le mathématicien français Jean Bernouilli (1667-1748) pour une introduction des fonctions exponentielles, cela dans une correspondance avec le mathématicien allemand Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Le mot «exponentielle» quant à lui apparaît pour la première fois dans la réponse de Leibniz.

Euler
C'est le génial mathématicien suisse Leonhard Euler (1707-1783) utilisa pour la première fois la notation e.

EULER Leonhard par Emanuel Handmann

La première apparition de la lettre « e » pour désigner la base du logarithme népérien date de 1728, dans un manuscrit d'Euler qui le définit comme le nombre dont le logarithme est l'unité et qui se sert des tables de Vlacq pour l'évaluer à 2,7182817. Il fait part de cette notation à Goldbach dans un courrier en 1731. Le choix de la lettre est parfois interprété comme un hommage au nom d'Euler lui-même ou l'initiale de « exponentielle ».

 

T.D. : Travaux Dirigés sur la fonction Exponentielle

 

Cours sur la fonction Exponentielle

 

D.S. sur la fonction Exponentielle

 

 

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Bac S : Exercices de maths classés par thèmes

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mathematiques tsClasse de terminale S

Exercices du bac S classés par thèmes.

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  1. Terminale Spécialité Maths : Algorithmique
  2. Terminale Spécialité : Fonctions trigonométriques
  3. Terminale Spécialité : Étude de fonctions, limites, continuité, dérivabilité et TVI
  4. Terminale S : Les nombres Complexes

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